题目
3.(配料问题)某动物园饲养了一批珍贵动物。在这些动物的生长过程中,蛋白质、维-|||-生素、脂肪和纤维素4种营养成分不可或缺。每只动物每天必须至少摄取500克蛋白-|||-质、6克维生素、10克脂肪及8克纤维素。已知每种饲料每千克所含的营养成分和饲料-|||-的单价如表 1-4 所示。如果你是该动物园的管理员,请表述一个可以用最小成本来满足-|||-这些动物正常生长的营养方案。-|||-表 1-4-|||-饲料类型 蛋白质/克 维生素/克 脂肪/克 纤维素/克 价格/(元/千克)-|||-玉米 400 3 2 2 5-|||-燕麦 200 2 2 4 8-|||-鸡肉 300 1 4 0 8-|||-牛肉 500 2 6 0 15
题目解答
答案
解析
考查要点：本题属于线性规划中的配料问题，要求根据营养需求和饲料成本，建立数学模型以最小化总成本。
解题核心思路：
- 确定决策变量：每种饲料的每日用量。
- 建立目标函数：总成本的最小化。
- 构建约束条件：确保每种营养成分的总摄入量满足最低需求。
关键点：
- 正确提取表格中的营养数据，避免混淆饲料类型和营养成分。
- 区分不等式方向：营养成分需满足“至少”要求，因此约束条件为“≥”。
决策变量定义
设：
- $x_1$ = 每天玉米的用量（kg）
- $x_2$ = 每天燕麦的用量（kg）
- $x_3$ = 每天鸡肉的用量（kg）
- $x_4$ = 每天牛肉的用量（kg）
目标函数
总成本最小化：
$\min z = 5x_1 + 8x_2 + 8x_3 + 15x_4$
约束条件
- 蛋白质（至少500克）：
$400x_1 + 200x_2 + 300x_3 + 500x_4 \geq 500$ - 维生素（至少6克）：
$3x_1 + 2x_2 + 1x_3 + 2x_4 \geq 6$ - 脂肪（至少10克）：
$2x_1 + 2x_2 + 4x_3 + 6x_4 \geq 10$ - 纤维素（至少8克）：
$2x_1 + 4x_2 \geq 8$ - 非负约束：
$x_1, x_2, x_3, x_4 \geq 0$