3、试根据原子半径 R 计算面心立方晶胞、六方晶胞、体心立方晶胞的体积。

本题要求根据原子半径$R$计算三种晶胞（面心立方、六方、体心立方）的体积。核心思路是确定每种晶胞的晶格参数$a$与原子半径$R$的关系，再代入体积公式。关键点在于：

1. 面心立方：通过面对角线推导$a=2\sqrt{2}R$；
2. 六方晶胞：需明确底面边长$a=2R$和高度$c$的关系，结合六方晶胞体积公式；
3. 体心立方：通过体对角线推导$a=\frac{4R}{\sqrt{3}}$。

面心立方晶胞

1. 晶格参数：面心立方中，原子在顶点和面心，面对角线为$4R$，由$a\sqrt{2}=4R$得$a=2\sqrt{2}R$。
2. 体积计算：
   $V = a^3 = (2\sqrt{2}R)^3 = 16\sqrt{2}R^3$

六方晶胞

1. 晶格参数：底面六边形边长$a=2R$，高度$c=\sqrt{\frac{8}{3}} \cdot 2R$。
2. 体积公式：
   $V = a^2 c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = (2R)^2 \cdot \left(\sqrt{\frac{8}{3}} \cdot 2R\right) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{2}R^3$

体心立方晶胞

1. 晶格参数：体心立方中，体对角线为$4R$，由$a\sqrt{3}=4R$得$a=\frac{4R}{\sqrt{3}}$。
2. 体积计算：
   $V = a^3 = \left(\frac{4R}{\sqrt{3}}\right)^3 = \frac{64}{3\sqrt{3}}R^3$