题目
一矩形晶格,原胞边长=2times 10 )-10 m,=2times 10 )-10 m。(1)画出倒格子图;(2)画出第一布里渊区和第二布里渊区;(3)画出自由电子的费米面。
一矩形晶格,原胞边长
,
。
,。(1)画出倒格子图;
(2)画出第一布里渊区和第二布里渊区;
(3)画出自由电子的费米面。
题目解答
答案
解:由题意可取该矩形晶格的原胞基矢为
,
,由此可求得其倒格子基矢为
,
,由此可做出此矩形晶格的倒格子图如下图所示:
,,由此可求得其倒格子基矢为,,由此可做出此矩形晶格的倒格子图如下图所示:
图 矩形晶格的倒格子
(2)该矩形晶格的第一布里渊区和第二布里渊区如下图所示:
图 矩形晶格的第一和第二布里渊区
(3)设该二维矩形晶格晶体含有
个电子,由于费米面是
空间占有电子与不占有电子区域的分界面,所以有下式成立
个电子,由于费米面是空间占有电子与不占有电子区域的分界面,所以有下式成立由此得 
上式中
为该二维晶格晶体的电子密度。
为该二维晶格晶体的电子密度。于是可求得该二维晶格晶体的费米面的半径为
由此可做出自由电子的费米面如下图中圆面所示:
图 二维矩形晶格的费米面圆
解析
步骤 1：确定原胞基矢
根据题目给出的原胞边长，可以确定原胞基矢为：
${a}_{1}=2\times {10}^{-10}m\cdot i$
${a}_{2}=4\times {10}^{-10}m\cdot j$
步骤 2：计算倒格子基矢
倒格子基矢可以通过原胞基矢计算得到，公式为：
${b}_{1}=\dfrac{2\pi}{a_{2}}\cdot j$
${b}_{2}=-\dfrac{2\pi}{a_{1}}\cdot i$
代入原胞基矢的值，得到：
${b}_{1}=\dfrac{2\pi}{4\times {10}^{-10}m}\cdot j=1.57\times {10}^{10}m^{-1}\cdot j$
${b}_{2}=-\dfrac{2\pi}{2\times {10}^{-10}m}\cdot i=-3.14\times {10}^{10}m^{-1}\cdot i$
步骤 3：画出倒格子图
根据倒格子基矢，可以画出倒格子图。倒格子图由倒格子基矢${b}_{1}$和${b}_{2}$生成，每个倒格子基矢的端点连接起来形成倒格子。
步骤 4：画出第一布里渊区和第二布里渊区
第一布里渊区是倒格子基矢${b}_{1}$和${b}_{2}$的端点所围成的区域。第二布里渊区是第一布里渊区的相邻区域，由倒格子基矢${b}_{1}$和${b}_{2}$的端点和相邻倒格子基矢的端点所围成的区域。
步骤 5：画出自由电子的费米面
自由电子的费米面是电子占据的区域和不占据的区域的分界面。费米面的半径可以通过电子密度计算得到，公式为：
${k}_{F}=\sqrt{2\pi n}$
其中，$n$为电子密度。费米面的形状为圆形，半径为${k}_{F}$。
根据题目给出的原胞边长，可以确定原胞基矢为：
${a}_{1}=2\times {10}^{-10}m\cdot i$
${a}_{2}=4\times {10}^{-10}m\cdot j$
步骤 2：计算倒格子基矢
倒格子基矢可以通过原胞基矢计算得到，公式为：
${b}_{1}=\dfrac{2\pi}{a_{2}}\cdot j$
${b}_{2}=-\dfrac{2\pi}{a_{1}}\cdot i$
代入原胞基矢的值，得到：
${b}_{1}=\dfrac{2\pi}{4\times {10}^{-10}m}\cdot j=1.57\times {10}^{10}m^{-1}\cdot j$
${b}_{2}=-\dfrac{2\pi}{2\times {10}^{-10}m}\cdot i=-3.14\times {10}^{10}m^{-1}\cdot i$
步骤 3：画出倒格子图
根据倒格子基矢，可以画出倒格子图。倒格子图由倒格子基矢${b}_{1}$和${b}_{2}$生成，每个倒格子基矢的端点连接起来形成倒格子。
步骤 4：画出第一布里渊区和第二布里渊区
第一布里渊区是倒格子基矢${b}_{1}$和${b}_{2}$的端点所围成的区域。第二布里渊区是第一布里渊区的相邻区域，由倒格子基矢${b}_{1}$和${b}_{2}$的端点和相邻倒格子基矢的端点所围成的区域。
步骤 5：画出自由电子的费米面
自由电子的费米面是电子占据的区域和不占据的区域的分界面。费米面的半径可以通过电子密度计算得到，公式为：
${k}_{F}=\sqrt{2\pi n}$
其中，$n$为电子密度。费米面的形状为圆形，半径为${k}_{F}$。