【例 -24 用一连续精馏塔分离苯-甲苯物系,已知进料组成(摩尔分数,下-|||-同) _(F)=0.44 ,要求塔顶组成达 _(D)=0.9 。已知物系的平均相对挥发度 =2.47 ,-|||-最小回流比 _(min)=3 ,试求此时的进料状况参数q值。

本题考察连续精馏塔中进料状况参数$q$的计算，核心思路是通过最小回流比$R_{\text{min}}$、相平衡方程和进料线方程联立求解。

步骤1：利用最小回流比方程建立$y_q$与$x_q$的关系

最小回流比公式为：
$R_{\text{min}} = \frac{x_D - y_q}{y_q - x_q}$
代入$R_{\text{min}}=3$、$x_D=0.9$，整理得：
$3 = \frac{0.9 - y_q}{y_q - x_q} \implies 3(y_q - x_q) = 0.9 - y_q \implies 4y_q - 3x_q = 0.9 \implies y_q = 0.75x_q + 0.225$

步骤2：联立相平衡方程求解$x_q$和$y_q$

苯-甲苯物系的相平衡方程为：
$y = \frac{\alpha x}{1 + (\alpha - 1)x}$
代入$\alpha=2.47$，得：
$y = \frac{2.47x}{1 + 1.47x}$

联立$y_q = 0.75x_q + 0.225$与相平衡方程：
$0.75x_q + 0.225 = \frac{2.47x_q}{1 + 1.47x_q}$
两边同乘$1 + 1.47x_q$消分母，整理得一元二次方程：
$x_q^2 - 1.263x_q + 0.2045 = 0$

求解方程，取合理根$x_q \approx 0.191$（另一根$x_q \approx 1.072>1$，舍去），代入$y_q = 0.75x_q + 0.225$得：
$y_q = 0.75 \times 0.191 + 0.225 \approx 0.368$

步骤3：通过进料线方程计算$q$

进料线（$q$-线）方程为：
$y = \frac{q}{q - 1}x - \frac{x_F}{q - 1}$
代入$x_F=0.4$、$x_q=0.191$、$y_q=0.368$，整理得：
$0.368 = \frac{q}{q - 1} \times 0.191 - \frac{0.4}{q - 1}$
移项合并，解得：
$q = \frac{y_q - x_F}{y_q - x_q} = \frac{0.368 - 0.4}{0.368 - 0.191} \approx -0.407$