题目
2-10 试证明:面心立方与体心立方互为正、倒格子。
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义体心立方正格子基矢
设与晶轴平行的单位矢量分别为i、j、k，体心立方正格子的原胞基矢可取为：
${a}_{1}=\dfrac {a}{2}(-i+j+k)$
${a}_{2}=\dfrac {a}{2}(i-j+k)$
${a}_{3}=\dfrac {a}{2}(i+j-k)$
步骤 2：计算体心立方正格子的原胞体积
体心立方的原胞体积为：
${a}_{2}={a}_{1}\cdot ({a}_{2}\times {a}_{3})=\dfrac {a}{2}(-i+j+k)\cdot \dfrac {{a}^{2}}{2}(j+k)=\dfrac {{a}^{3}}{2}$
步骤 3：计算体心立方的倒格子基矢
由倒格子基矢的定义式，可求得：
${b}_{1}=2\pi \cdot \dfrac {{a}_{2}\times {a}_{3}}{a}=2\pi \cdot \dfrac {\dfrac {{a}^{2}}{2}(j+k)}{\dfrac {{a}^{3}}{2}}=\dfrac {2\pi }{a}(j+k)$
同理可求得：
${b}_{2}=2\pi \cdot \dfrac {{a}_{3}\times {a}_{1}}{a}=\dfrac {2\pi }{a}(i+k)$
${b}_{3}=2\pi \cdot \dfrac {{a}_{1}\times {a}_{2}}{a}=\dfrac {2\pi }{a}(i+j)$
步骤 4：定义面心立方正格子基矢
面心立方正格子的原胞基矢可取为：
${a}_{1}=\dfrac {a}{2}(j+k)$
${a}_{2}=\dfrac {a}{2}(i+k)$
${a}_{3}=\dfrac {a}{2}(i+j)$
步骤 5：计算面心立方正格子的原胞体积
面心立方的原胞体积为：
${a}_{2}={a}_{1}\cdot ({a}_{2}\times {a}_{3})=\dfrac {a}{2}(j+k)\cdot \dfrac {{a}^{2}}{4}(-i+j+k)=\dfrac {{a}^{3}}{4}$
步骤 6：计算面心立方的倒格子基矢
由倒格子基矢的定义式，可求得：
${b}_{1}=2\pi \cdot \dfrac {{a}_{2}\times {a}_{3}}{a}=2\pi \cdot \dfrac {\dfrac {{a}^{2}}{4}(-i+j+k)}{\dfrac {{a}^{3}}{4}}=\dfrac {2\pi }{a}(-i+j+k)$
同理可求得：
${b}_{2}=2\pi \cdot \dfrac {{a}_{3}\times {a}_{1}}{a}=\dfrac {2\pi }{a}(i-j+k)$
${b}_{3}=2\pi \cdot \dfrac {{a}_{1}\times {a}_{2}}{a}=\dfrac {2\pi }{a}(i+j-k)$
步骤 7：验证互为正、倒格子
由体心立方正格子基矢求出的倒格子基矢与面心立方格子基矢的形式一致，具体来说，对应晶格常数为a的体心立方格子，其倒格子是倒易空间内对应晶格常数为 $\dfrac {4\pi }{a}$ 的面心立方格子。同理，对应晶格常数为a的面心立方格子，其倒格子是倒易空间内对应晶格常数为 $\dfrac {4\pi }{a}$ 的体心立方格子。因此，面心立方与体心立方互为正、倒格子。
设与晶轴平行的单位矢量分别为i、j、k，体心立方正格子的原胞基矢可取为：
${a}_{1}=\dfrac {a}{2}(-i+j+k)$
${a}_{2}=\dfrac {a}{2}(i-j+k)$
${a}_{3}=\dfrac {a}{2}(i+j-k)$
步骤 2：计算体心立方正格子的原胞体积
体心立方的原胞体积为：
${a}_{2}={a}_{1}\cdot ({a}_{2}\times {a}_{3})=\dfrac {a}{2}(-i+j+k)\cdot \dfrac {{a}^{2}}{2}(j+k)=\dfrac {{a}^{3}}{2}$
步骤 3：计算体心立方的倒格子基矢
由倒格子基矢的定义式，可求得：
${b}_{1}=2\pi \cdot \dfrac {{a}_{2}\times {a}_{3}}{a}=2\pi \cdot \dfrac {\dfrac {{a}^{2}}{2}(j+k)}{\dfrac {{a}^{3}}{2}}=\dfrac {2\pi }{a}(j+k)$
同理可求得：
${b}_{2}=2\pi \cdot \dfrac {{a}_{3}\times {a}_{1}}{a}=\dfrac {2\pi }{a}(i+k)$
${b}_{3}=2\pi \cdot \dfrac {{a}_{1}\times {a}_{2}}{a}=\dfrac {2\pi }{a}(i+j)$
步骤 4：定义面心立方正格子基矢
面心立方正格子的原胞基矢可取为：
${a}_{1}=\dfrac {a}{2}(j+k)$
${a}_{2}=\dfrac {a}{2}(i+k)$
${a}_{3}=\dfrac {a}{2}(i+j)$
步骤 5：计算面心立方正格子的原胞体积
面心立方的原胞体积为：
${a}_{2}={a}_{1}\cdot ({a}_{2}\times {a}_{3})=\dfrac {a}{2}(j+k)\cdot \dfrac {{a}^{2}}{4}(-i+j+k)=\dfrac {{a}^{3}}{4}$
步骤 6：计算面心立方的倒格子基矢
由倒格子基矢的定义式，可求得：
${b}_{1}=2\pi \cdot \dfrac {{a}_{2}\times {a}_{3}}{a}=2\pi \cdot \dfrac {\dfrac {{a}^{2}}{4}(-i+j+k)}{\dfrac {{a}^{3}}{4}}=\dfrac {2\pi }{a}(-i+j+k)$
同理可求得：
${b}_{2}=2\pi \cdot \dfrac {{a}_{3}\times {a}_{1}}{a}=\dfrac {2\pi }{a}(i-j+k)$
${b}_{3}=2\pi \cdot \dfrac {{a}_{1}\times {a}_{2}}{a}=\dfrac {2\pi }{a}(i+j-k)$
步骤 7：验证互为正、倒格子
由体心立方正格子基矢求出的倒格子基矢与面心立方格子基矢的形式一致，具体来说，对应晶格常数为a的体心立方格子，其倒格子是倒易空间内对应晶格常数为 $\dfrac {4\pi }{a}$ 的面心立方格子。同理，对应晶格常数为a的面心立方格子，其倒格子是倒易空间内对应晶格常数为 $\dfrac {4\pi }{a}$ 的体心立方格子。因此，面心立方与体心立方互为正、倒格子。