题目
.8-3 已知单元体的应力状态如图所示。图中应力单位均为MP a.试用数解-|||-法求:-|||-(1)指定斜截面上的应力,并表示于图中:-|||-(2)主应力大小及方向,并画主应力单元体:-|||-(3)最大切应力及其作用面。-|||-20 80 30-|||-20 25 40 20 20-|||-30° 50 30 40 30° 20-|||-45 一m →-|||-30°-|||-a) b) c) d) e)-|||-应力单位:MPa
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算指定斜截面上的应力
对于每个单元体，首先需要计算指定斜截面上的应力。这可以通过应力变换公式来完成。对于一个斜截面，其法线与x轴的夹角为$\alpha$，则斜截面上的正应力${\sigma }_{\alpha }$和切应力${\tau }_{\alpha }$可以由以下公式计算：
${\sigma }_{\alpha }=\frac{{\sigma }_{x}+{\sigma }_{y}}{2}+\frac{{\sigma }_{x}-{\sigma }_{y}}{2}\cos 2\alpha +{\tau }_{xy}\sin 2\alpha$
${\tau }_{\alpha }=\frac{{\sigma }_{x}-{\sigma }_{y}}{2}\sin 2\alpha -{\tau }_{xy}\cos 2\alpha$
步骤 2：计算主应力及其方向
主应力是单元体中最大和最小的正应力，它们的方向可以通过主应力方程求解。主应力${\sigma }_{1}$和${\sigma }_{3}$可以通过以下公式计算：
${\sigma }_{1,3}=\frac{{\sigma }_{x}+{\sigma }_{y}}{2}\pm \sqrt{{(\frac{{\sigma }_{x}-{\sigma }_{y}}{2})}^{2}+{\tau }_{xy}^{2}}$
主应力方向$\alpha$可以通过以下公式计算：
$\tan 2\alpha =\frac{2{\tau }_{xy}}{{\sigma }_{x}-{\sigma }_{y}}$
步骤 3：计算最大切应力及其作用面
最大切应力${\tau }_{max}$可以通过以下公式计算：
${\tau }_{max}=\frac{{\sigma }_{1}-{\sigma }_{3}}{2}$
最大切应力作用面的方向与主应力方向成45度角。
对于每个单元体，首先需要计算指定斜截面上的应力。这可以通过应力变换公式来完成。对于一个斜截面，其法线与x轴的夹角为$\alpha$，则斜截面上的正应力${\sigma }_{\alpha }$和切应力${\tau }_{\alpha }$可以由以下公式计算：
${\sigma }_{\alpha }=\frac{{\sigma }_{x}+{\sigma }_{y}}{2}+\frac{{\sigma }_{x}-{\sigma }_{y}}{2}\cos 2\alpha +{\tau }_{xy}\sin 2\alpha$
${\tau }_{\alpha }=\frac{{\sigma }_{x}-{\sigma }_{y}}{2}\sin 2\alpha -{\tau }_{xy}\cos 2\alpha$
步骤 2：计算主应力及其方向
主应力是单元体中最大和最小的正应力，它们的方向可以通过主应力方程求解。主应力${\sigma }_{1}$和${\sigma }_{3}$可以通过以下公式计算：
${\sigma }_{1,3}=\frac{{\sigma }_{x}+{\sigma }_{y}}{2}\pm \sqrt{{(\frac{{\sigma }_{x}-{\sigma }_{y}}{2})}^{2}+{\tau }_{xy}^{2}}$
主应力方向$\alpha$可以通过以下公式计算：
$\tan 2\alpha =\frac{2{\tau }_{xy}}{{\sigma }_{x}-{\sigma }_{y}}$
步骤 3：计算最大切应力及其作用面
最大切应力${\tau }_{max}$可以通过以下公式计算：
${\tau }_{max}=\frac{{\sigma }_{1}-{\sigma }_{3}}{2}$
最大切应力作用面的方向与主应力方向成45度角。