试计算面心立方晶体的(100)，(110)，(111)等晶面的面间距和面致密度，并指出面间距最大的面。

考查要点：本题主要考查面心立方晶体的晶面面间距计算、面致密度分析，以及晶面指数规则的应用。

解题核心思路：

1. 晶面指数规则：面心立方中，晶面存在的条件是指数$(hkl)$全为奇数或全为偶数。若不满足，则实际晶面为附加面（如$(2h,2k,2l)$）。
2. 面间距公式：$d_{hkl} = \frac{a}{\sqrt{h^2 + k^2 + l^2}}$，但需根据晶面是否存在调整指数。
3. 面致密度：通过晶面单位面积内的原子数计算，密排面（如$(111)$）致密度最高。

破题关键点：

• 判断$(100)$、$(110)$、$(111)$是否满足晶面指数规则，确定实际晶面。
• 应用面间距公式并计算致密度，比较面间距大小。

1. 晶面存在性判断

• $(100)$：指数$(1,0,0)$不满足全奇或全偶，实际晶面为附加面$(200)$。
• $(110)$：指数$(1,1,0)$不满足全奇或全偶，实际晶面为附加面$(220)$。
• $(111)$：指数$(1,1,1)$全奇，晶面存在。

2. 面间距计算

• $(200)$面：
  $d_{200} = \frac{a}{\sqrt{2^2 + 0^2 + 0^2}} = \frac{a}{2}$
• $(220)$面：
  $d_{220} = \frac{a}{\sqrt{2^2 + 2^2 + 0^2}} = \frac{a}{2\sqrt{2}}$
• $(111)$面：
  $d_{111} = \frac{a}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{a}{\sqrt{3}}$

3. 面致密度分析

• $(200)$面：单位面积内原子数为$1$，致密度最低（约$0.385$）。
• $(220)$面：单位面积内原子数为$\sqrt{2}$，致密度较高（约$0.539$）。
• $(111)$面：密排面，单位面积内原子数为$\sqrt{3}$，致密度最高（约$0.577$）。

4. 面间距比较

• $d_{200} = \frac{a}{2} \approx 0.5a$
• $d_{220} = \frac{a}{2\sqrt{2}} \approx 0.354a$
• $d_{111} = \frac{a}{\sqrt{3}} \approx 0.577a$
  结论：$(111)$面面间距最大。