8. (1)半径为 R 的圆球堆积成正四面体空隙，试作图计算该正四面体的边长、高、体心到顶点的距离、中心距底面的高度、中心到两顶点连线的夹角以及空隙中心到球面的最短距离。 (2)半径为 R 的圆球堆积成正八面体空隙，计算空隙中心到顶点的距离。 (3)半径为 R 的圆球围成正三角形空隙，计算中心到顶点的距离。 (4)半径为 R 的圆球堆积成 A3 型结构，计算其简单六方晶胞的晶胞参数 a 和 c。 (5)证明半径为 R 的圆球所作的体心立方堆积中，八面体空隙所容纳的小球的最大半径为 0.154R，四面体空隙所容纳的小球的最大半径为 0.291R。 (6)计算等径圆球密置单层中平均每个球所摊到的三角形空隙数目及二维堆积系数(平面占有率) (7)指出 A1 型和 A3 型等径圆球密堆积中密置层的方向各是什么。 (8)请按 a～c 总结 A1、A2 及 A3 型金属晶体的结构特征。a.原子的堆积方式、重复周期(A2 型除外)、原子的配位数及配位情况。b.空隙的种类和大小、空隙中心的位置及平均每个原子摊到的空隙数目。c.原子的堆积系数、所属晶系、晶胞型式、晶胞中原子的坐标参数、晶胞参数与原子半径的关系等。 (9)画出等径圆球密置双层图，指明结构基元。

(1)

4 个等径圆球作紧密堆积的情形示于图(a)和(b)， (c)示出堆积所形成的正四面体空隙。

该正四面体的顶点即球心位置，边长为圆球半径的 2 倍。

由图和正四面体的立体几何知识可知：

边长 AB=2R

AM=(AE2−EM2)12=[AB2−BE2−(13DE)2]12

高=[AB2−(12AB)2−(13AE)2]12=⎡⎣(2R)2−R2−(√33R)2⎤⎦12=23√6R≈1.633R

中心到顶点的距离：OA=34AM=√62R≈1.225R

中心到底边的高度：OM=14AM=√66R≈0.408R

中心到两顶点连线的夹角为：∠AOB

θ=cos−1[OA2+OB2−AB22(OA)(OB)]=cos−1⎡⎢⎢⎢⎣2(√6R/2)2−(2R)22(√6R/2)2⎤⎥⎥⎥⎦=cos−1(−1/3)=109,47∘

中心到球面的最短距离OA−R≈0.225R

(2)

正八面体空隙由 6 个等径圆球密堆积而成，其顶点即圆球的球心，其棱长即圆球的直径。

空隙的实际体积小于八面体体积。三图分别示出球的堆积情况及所形成的正八面体空隙。

由图(c)知，八面体空隙中心到顶点的距离为：

OC=12AC=12√2AB=12√2×2R=√2R

而八面体空隙中心到球面的最短距离为：

OC−R=√2R−R≈0.414R

此即半径为 R 的等径圆球最密堆积形成的正八面体空隙所能容纳的小球的最大半径。

0.414是典型的二元离子晶体中正离子的配位多面体为正八面体时r+/r−的下限值。

(3)

由图可见，三角形空隙中心到顶点(球心)的距离为：

OA=23AD=23√3R≈1.155R

三角形空隙中心到球面的距离为：

OA−R≈1.155R−R=0.155R

此即半径为 R 的圆球作紧密堆积形成的三角形空隙所能容纳的小球的最大半径，0.155 是“三角形离子配位多面体”中r+/r−的下限值。

(4)

图中示出 A3 型结构的—个简单六方晶胞。该晶胞中有两个圆球、4 个正四面体空 隙和两个正八面体空隙。由图可见，两个正四面体空隙共用一个顶点，正四面体高的两倍即晶胞参数 c，而正四面体的棱长即为晶胞参数 a 或者 b。根据(1)题的结果，可得：

 a=b=2R

c=23√6R×2=43√6R

c/a=23√6≈1.633

(5)

证明：等径圆球体心立方堆积结构的晶胞示于图(a)和(b)。由图(a)可见，八面 体空隙中心分别分布在晶胞的面心和棱心上。因此，每个晶胞中 6 个八面体空隙 (6×12+12×14)。而每个晶胞中含 2 个圆球，所以每个球平均摊到 3 个八面体空隙。这些八 面体空隙是沿着一个轴被压扁了的变形八面体，长轴为 √2a，短轴为a( a是晶胞参数)。

八面体空隙所能容纳的小球的最大半径 r0 即从空隙中心(沿短轴)到球面的距离，该距离为a2−R 。体心立方堆积是一种非最密堆积，圆球只在C3轴方向上互相接触，因而a=4√3R 。 代入a2−R ，得r0=(2√3−1)R≈0.154R 。

由图(b)可见，四面体空隙中心分布在立方晶胞的面上，每个面有 4 个四面体中心，因此每个晶胞有 12 个四面体空隙 (6×4×12)。而每个晶胞有 2 个球，所以每个球平均摊到 6 个四面体空隙。这些四面体空隙也是变形的，两条长棱皆为a ，4 条短棱皆为 √32a。

四面体空隙所能容纳的小球的最大半径rT等于从四面体空隙中心到顶点的距离减去球的半径 R。而从空隙中心到顶点的距离为 [(a2)2+(a4)2]12=√54a，所以小球的最大半径为 √54a−R=√54×4√3R−R=0.291R

(6)

下图示出等径圆球密置单层的—部分：

由图可见，每个球(如 A)周围有 6 个三角形空隙，而每个三角形空隙由 3 个球围成，所以每个球平均摊到6×13=2个三角形空隙。也可按图中画出的平行四边形单位计算。该单位只包含一个球(截面)和 2 个三角形空隙，即每个球摊到 2 个三角形空隙。

设等径圆球的半径为 R，则图中平行四边形单位的边长为 2R。所以二维堆积系数为：

πR2(2R)2sin60∘=πR24R2(√3/2)=0.906

(7)

A1 型等径团球密堆积中，密置层的方向与C3轴垂直，即与(111)面平行。A3 型等径圆球密堆积中，密置层的方向与六重轴垂直，即与(001)面平行。下面将通过两种密堆积 型式划分出来的晶胞进一步说明密置层的方向。

A1 型密堆积可划分出如图(a)所示的立方面心晶胞。在该晶胞中，由虚线连接的圆球所处的平面即密置层面，该层面垂直于立方晶胞的体对角线即C3轴。每一晶胞有 4 条体对角线， 即在 4 个方向上都有C3轴的对称性。因此，与这 4 个方向垂直的层面都是密置层。

A3 型密堆积可划分出如图 9.7(b)所示的六方晶胞。球 A 和球 B 所在的堆积层都是密置层。这些层面平行于(001)晶面，即垂直于 c 轴，而 c 轴平行于六重轴C6 。

(8)

(a)A1，A2 和 A3 型金属晶体中原子的堆积方式分别为立方最密堆积(ccp)、体心立方密堆积 (bcp)相六方最密堆积(hcp)。A1型堆积中密堆积层的重复方式为 ABCABCABC…，三层为 一重复周期，A3 型堆积中密堆积层的重复方式为 ABABAB…，两层为一重复周期。A1 和 A3 型堆积中原子的配位数皆为 12，而 A2 型堆积中原子的配位数为 8—14，在 A1 型和 A3 型堆积中，中心原子与所有配位原子都接触。同层 6 个，上下两层各 3 个。所不同的是， A1 型堆积中，上下两层配位原子沿 C3轴的投影相差 60 呈 C6轴的对称性，而 A3 型堆积中， 上下两层配位原子沿 c 轴的投影互相重合。在 A2 型堆积中，8 个近距离(与中心原子相距为√32a)配位原子处在立方晶胞的顶点上，6 个远距离(与中心原子相距为a)配位原子处在相邻晶胞的体心上。

(b)A1 型堆积和 A3 型堆积都有两种空隙，即四面体空隙和八面体空隙。四面体空隙可 容纳半径为 0.225R 的小原子。八面体空隙可容纳半径为 0.414R的小原子(R 为堆积原子的 半径)。在这两种堆积中，每个原子平均摊到两个四面体空隙和 1 个八面体空隙。差别在于， 两种堆积中空隙的分布不同。在 A1 型堆积中，四面体空隙的中心在立方面心晶胞的体对角线上，到晶胞顶点的距离为√62R。八面体空隙的中心分别处在晶胞的体心和棱心上。在 A3 型堆积中，四面体空隙中心的坐标参数分别为0,0,38;0,0,58;23,13,18;23,13,78 。而八面体空隙中心的坐标参数分别为23,13,14;23,13,34 。A2型堆积中有变形八面体空隙、变形四面体空隙和三角形空隙(亦可视为变形三方双锥空隙)。八面体空隙和四面体空隙在空间上是重复利用的。八面体空隙中心在体心立方晶胞的面心和棱心上。每个原子平均摊到 3 个八面体空隙， 该空隙可容纳的小原子的最大半径为 0.154R 。四面体空隙中心处在晶胞的面上。每个原子平均摊到 6 个四面体空隙，该空隙可容纳的小原子的最大半径为 0.291R。三角形空隙实际上是上述两种多面体空隙的连接面，算起来，每个原子摊到 12 个三角形空隙。

(c)

金属的结构形式	A1	A2	A3
原子的堆积系数	74.05%	68.02%	74.05%
所属晶系	立方	立方	六方
晶胞形式	面心立方	体心立方	六方
晶胞中原子的坐标参数	0,0,0;12,12,0;12,0,12;0,12,12	0,0,0;12,12,12	0,0,0;23,13,12
晶胞参数与原子半径的关系	a=2√2R	a=4√3R	a=b=2R c=43√6R
点阵形式	面心立方	体心立方	简单六方

综上所述，A1，A2 和 A3 型结构是金属单质的三种典型结构形式。它们具有共性，也有差异。尽管 A2 型结构与 A1 型结构同属立方晶体，但 A2 型结构是非最密堆积，堆积系数小，且空隙数目多，形状不规则，分布复杂。搞清这些空隙的情况对于实际工作很重要。 A1 型和 A3 型结构都是最密堆积结构，它们的配位数、球与空隙的比例以及堆积系数都相同。差别是它们的对称性和周期性不同。A3 型结构属六方晶系，可划分出包含两个原子的六方晶胞。其密置层方向与 c 轴垂直。而A1 型结构的对称性比 A3 型结构的对称性高，它属立方晶系，可划分出包含 4 个原子的面心立方晶胞，密置层与晶胞体对角线垂直。A1型 结构将原子密置层中 C6轴所包含的C3轴对称性保留了下来。另外，A3 型结构可抽象出简单六方点阵，而 A1型结构可抽象出面心立方点阵。

(9)

等径圆球的密置双层示于下。仔细观察和分子便发现，作周期性重复的最基本的结构单位包括 2 个圆球，即 2 个圆球构成一个结构基元。这两个球分布在两个密置层中，如球 A 和球 B。

密置双层本身是个三维结构，但由它抽取出来的点阵却为平面点阵。即密置双层仍为二维点阵结构。图中画出平面点阵的素单位，该单位是平面六方单位，其形状与密置单层的点阵素单位一样，每个单位也只包含 1 个点阵点，但它代表 2 个球。

等径圆球密置双层是两个密置层作最密堆积所得到的唯一的一种堆积方式。在密置双层结构中，圆球之间形成两种空隙，即四面体空隙和八面体空隙。前者由 3 个相邻的 A球和 1个 B 球或 3 个相邻的 B 球和 1 个A 球构成。后者则由 3 个相邻的 A 球和 3 个相邻的 B 球构成。球数：四面体空隙数：八面体空隙数=2:2:1