设计一分离苯-甲苯溶液的连续精馏塔，料液含苯0.5，要求馏出液中含苯0.97，釜残液中含苯低于0.04（均为摩尔分数），泡点加料，回流比取最小回流比的1.5倍，苯与甲苯的相对挥发度平均值取为2.5，试用逐板计算法求所需理论板数和加料位置。

步骤 1：计算最小回流比
根据题目，泡点加料，所以最小回流比 ${R}_{min}$ 可以通过以下公式计算：
${R}_{min}=\dfrac {{x}_{D}-{x}_{F}}{{x}_{F}-{x}_{W}}$
其中，${x}_{D}=0.97$，${x}_{F}=0.5$，${x}_{W}=0.04$。代入公式计算得：
${R}_{min}=\dfrac {0.97-0.5}{0.5-0.04}=1.19$
步骤 2：计算回流比
题目要求回流比取最小回流比的1.5倍，所以：
$R=1.5{R}_{min}=1.5\times 1.19=1.785$
步骤 3：计算精馏段操作线方程
精馏段操作线方程为：
$y=\dfrac {R}{R+1}x+\dfrac {1}{R+1}{x}_{D}$
代入 $R=1.785$ 和 ${x}_{D}=0.97$，得：
$y=\dfrac {1.785}{1.785+1}x+\dfrac {1}{1.785+1}\times 0.97$
$y=0.64x+0.348$
步骤 4：计算提馏段操作线方程
提馏段操作线方程为：
$\dfrac {y-{y}_{Q}}{x-{x}_{Q}}=\dfrac {{y}_{Q}-{x}_{W}}{{x}_{Q}-{x}_{W}}$
其中，${x}_{Q}={x}_{F}=0.5$，${y}_{Q}=0.668$，${x}_{W}=0.04$。代入公式计算得：
$\dfrac {y-0.668}{x-0.5}=\dfrac {0.668-0.04}{0.5-0.04}$
$y=1.365x-0.015$
步骤 5：计算汽液平衡方程
汽液平衡方程为：
$y=\dfrac {2.5x}{1+1.5x}$
$x=\dfrac {y}{2.5-1.5y}$
步骤 6：计算理论板数和加料位置
从塔顶开始计算，${y}_{1}={x}_{D}=0.97$，代入汽液平衡方程计算得：
${x}_{1}=\dfrac {{y}_{1}}{2.5-1.5{y}_{1}}=\dfrac {0.97}{2.5-1.5\times 0.97}=0.928$
代入精馏段操作线方程计算得：
${y}_{2}=0.64{x}_{1}+0.348=0.64\times 0.928+0.348=0.942$
继续计算，直到 ${x}_{7}=0.465\lt {x}_{F}=0.5$，所以精馏段需要6块理论板，加料板为第7块理论板。
从加料板开始计算，${x}_{7}=0.4663$，代入提馏段操作线方程计算得：
${y}_{7}=1.365{x}_{7}-0.015=1.365\times 0.4663-0.015=0.6860$
继续计算，直到 ${x}_{13}=0.0363\lt {x}_{W}=0.04$，所以提馏段需要7块理论板。