题目
8.2 已知应力状态如图所示(应力单位为MPa),试求:-|||-(1)主应力和主平面位置;(2)在单元体中画出主平面位置和主应力方向;(3)最大切-|||-应力。-|||-20 25-|||-个 50 20 个-|||-50 →-|||-(a) (b) (c)-|||-20 80 ↑30-|||-40 个-|||-20-|||-40 square 120 120-|||-(d) (e) (f)-|||-题8.2图
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定主应力和主平面位置
对于给定的应力状态，我们首先需要确定主应力和主平面的位置。主应力是应力状态下的最大和最小正应力，而主平面是这些应力作用的平面。主应力可以通过求解应力状态的特征方程来确定，而主平面的位置可以通过求解应力状态的特征向量来确定。
步骤 2：计算主应力
对于每个给定的应力状态，我们可以通过求解应力状态的特征方程来计算主应力。特征方程是基于应力状态的应力张量的特征值问题，其形式为：
$$
\det(\sigma_{ij} - \lambda \delta_{ij}) = 0
$$
其中，$\sigma_{ij}$ 是应力张量，$\lambda$ 是特征值，$\delta_{ij}$ 是单位矩阵。解这个方程可以得到主应力。
步骤 3：计算主平面位置
主平面的位置可以通过求解应力状态的特征向量来确定。特征向量是与特征值相对应的向量，它们表示主应力作用的方向。特征向量可以通过求解以下方程来确定：
$$
(\sigma_{ij} - \lambda \delta_{ij})v_j = 0
$$
其中，$v_j$ 是特征向量。解这个方程可以得到主平面的位置。
步骤 4：计算最大切应力
最大切应力可以通过主应力来计算。最大切应力是主应力之间的差值的一半，其公式为：
$$
\tau_{max} = \frac{|\sigma_1 - \sigma_3|}{2}
$$
其中，$\sigma_1$ 和 $\sigma_3$ 是主应力。
步骤 5：绘制主平面位置和主应力方向
在单元体中，我们可以根据主平面的位置和主应力的方向来绘制主平面位置和主应力方向。主平面位置可以通过绘制主应力作用的平面来表示，而主应力方向可以通过绘制主应力作用的方向来表示。
对于给定的应力状态，我们首先需要确定主应力和主平面的位置。主应力是应力状态下的最大和最小正应力，而主平面是这些应力作用的平面。主应力可以通过求解应力状态的特征方程来确定，而主平面的位置可以通过求解应力状态的特征向量来确定。
步骤 2：计算主应力
对于每个给定的应力状态，我们可以通过求解应力状态的特征方程来计算主应力。特征方程是基于应力状态的应力张量的特征值问题，其形式为：
$$
\det(\sigma_{ij} - \lambda \delta_{ij}) = 0
$$
其中，$\sigma_{ij}$ 是应力张量，$\lambda$ 是特征值，$\delta_{ij}$ 是单位矩阵。解这个方程可以得到主应力。
步骤 3：计算主平面位置
主平面的位置可以通过求解应力状态的特征向量来确定。特征向量是与特征值相对应的向量，它们表示主应力作用的方向。特征向量可以通过求解以下方程来确定：
$$
(\sigma_{ij} - \lambda \delta_{ij})v_j = 0
$$
其中，$v_j$ 是特征向量。解这个方程可以得到主平面的位置。
步骤 4：计算最大切应力
最大切应力可以通过主应力来计算。最大切应力是主应力之间的差值的一半，其公式为：
$$
\tau_{max} = \frac{|\sigma_1 - \sigma_3|}{2}
$$
其中，$\sigma_1$ 和 $\sigma_3$ 是主应力。
步骤 5：绘制主平面位置和主应力方向
在单元体中，我们可以根据主平面的位置和主应力的方向来绘制主平面位置和主应力方向。主平面位置可以通过绘制主应力作用的平面来表示，而主应力方向可以通过绘制主应力作用的方向来表示。