【题目】设粒子处在0~a范围内的一维无限深势阱中运动,其状态可用波函数ψ(x)=4/(√a)sin((πx)/a)cos^2((πx)/a)表示,试估算:(1)该粒子能量的可能测量值及相应的概率;(2)能量平均值。

本题考查一维无限深势阱中粒子的能量测量值及概率、能量平均值的计算。解题核心思路是将给定的波函数分解为能量本征态的线性组合，从而确定可能的能量值及其概率。关键点在于：

1. 利用三角恒等式展开波函数，将其转化为不同能量本征态的叠加形式；
2. 根据叠加系数的平方确定各能量值出现的概率；
3. 通过加权求和计算能量平均值。

波函数展开

原波函数为：
$\psi(x) = \frac{4}{\sqrt{a}} \sin\left(\frac{\pi x}{a}\right) \cos^2\left(\frac{\pi x}{a}\right)$
利用三角恒等式 $\cos^2\theta = \frac{1}{2}(1 + \cos 2\theta)$，展开得：
$\begin{aligned}\psi(x) &= \frac{4}{\sqrt{a}} \sin\left(\frac{\pi x}{a}\right) \cdot \frac{1}{2}\left(1 + \cos\left(\frac{2\pi x}{a}\right)\right) \\&= \frac{2}{\sqrt{a}} \left[ \sin\left(\frac{\pi x}{a}\right) + \sin\left(\frac{\pi x}{a}\right)\cos\left(\frac{2\pi x}{a}\right) \right]\end{aligned}$
进一步利用乘积公式 $\sin A \cos B = \frac{1}{2}[\sin(A+B) + \sin(A-B)]$，第二项展开为：
$\sin\left(\frac{\pi x}{a}\right)\cos\left(\frac{2\pi x}{a}\right) = \frac{1}{2}\left[ \sin\left(\frac{3\pi x}{a}\right) - \sin\left(\frac{\pi x}{a}\right) \right]$
代入原式整理得：
$\psi(x) = \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{\frac{2}{a}} \sin\left(\frac{\pi x}{a}\right) + \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{\frac{2}{a}} \sin\left(\frac{3\pi x}{a}\right)$

能量本征态分解

对比无限深势阱的本征波函数 $\phi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{a}} \sin\left(\frac{n\pi x}{a}\right)$，可得：
$\psi(x) = \frac{1}{\sqrt{2}} \phi_1(x) + \frac{1}{\sqrt{2}} \phi_3(x)$
因此，波函数是 $n=1$ 和 $n=3$ 本征态的叠加，对应能量：
$E_1 = \frac{h^2}{8ma^2}, \quad E_3 = \frac{9h^2}{8ma^2}$

概率与平均值

• 概率：系数平方分别为 $P_1 = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{1}{2}$，$P_3 = \frac{1}{2}$。
• 能量平均值：
  $\langle E \rangle = P_1 E_1 + P_3 E_3 = \frac{1}{2} \cdot \frac{h^2}{8ma^2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{9h^2}{8ma^2} = \frac{5h^2}{8ma^2}$