8.2已知应力状态如图所示(应力单位为MPa),试求:-|||-(1)主应力和主平面位置;(2)在单元体中画出主平面位置和主应力方向;(3)最大切-|||-应力。-|||-20 25-|||-50 20-|||-50-|||-(a) (b) (c)-|||-20 80 30-|||-40 20-|||-40-|||-(d) (e) (f)

步骤 1：计算主应力
对于给定的应力状态，我们首先需要计算主应力。主应力是应力状态下的三个最大和最小的正应力。对于平面应力状态，我们可以通过求解应力状态的特征方程来找到主应力。特征方程为：
$$
\sigma^3 - I_1 \sigma^2 + I_2 \sigma - I_3 = 0
$$
其中，$I_1$、$I_2$ 和 $I_3$ 是应力状态的不变量，分别表示为：
$$
I_1 = \sigma_{xx} + \sigma_{yy} + \sigma_{zz}
$$
$$
I_2 = \sigma_{xx}\sigma_{yy} + \sigma_{yy}\sigma_{zz} + \sigma_{zz}\sigma_{xx} - \tau_{xy}^2 - \tau_{yz}^2 - \tau_{zx}^2
$$
$$
I_3 = \sigma_{xx}\sigma_{yy}\sigma_{zz} + 2\tau_{xy}\tau_{yz}\tau_{zx} - \sigma_{xx}\tau_{yz}^2 - \sigma_{yy}\tau_{zx}^2 - \sigma_{zz}\tau_{xy}^2
$$
对于平面应力状态，$\sigma_{zz} = 0$，$\tau_{yz} = \tau_{zx} = 0$，因此，$I_1 = \sigma_{xx} + \sigma_{yy}$，$I_2 = \sigma_{xx}\sigma_{yy} - \tau_{xy}^2$，$I_3 = 0$。主应力可以通过求解特征方程得到。

步骤 2：计算主平面位置
主平面是主应力作用的平面。主平面的位置可以通过求解应力状态的特征向量来找到。特征向量表示主应力作用的方向。对于平面应力状态，主平面的位置可以通过求解以下方程得到：
$$
\sigma_{xx} - \sigma \quad \tau_{xy} = 0
$$
$$
\tau_{xy} \quad \sigma_{yy} - \sigma = 0
$$
其中，$\sigma$ 是主应力。主平面的位置可以通过求解上述方程得到。

步骤 3：计算最大切应力
最大切应力是应力状态下的最大剪应力。对于平面应力状态，最大切应力可以通过求解以下方程得到：
$$
\tau_{max} = \frac{1}{2} \sqrt{(\sigma_{xx} - \sigma_{yy})^2 + 4\tau_{xy}^2}
$$
其中，$\sigma_{xx}$ 和 $\sigma_{yy}$ 是主应力，$\tau_{xy}$ 是剪应力。最大切应力可以通过求解上述方程得到。