10.常压下对苯-甲苯物系进行全回流精馏。操作稳定后,测得相邻三层塔板(自上而下)的液相组成分别-|||-为0.41(摩尔分数,下同)、0.28、0.18,试求三层板中较低两层的气相、液相单板效率。设相对挥发度为2.45。

步骤 1：计算理论气相组成
根据相对挥发度 $\alpha = 2.45$，可以计算出理论气相组成。对于全回流操作，气相组成 $y$ 和液相组成 $x$ 之间的关系由下式给出：
$$ y = \frac{\alpha x}{1 + (\alpha - 1)x} $$
步骤 2：计算理论气相组成
对于三层塔板，分别计算理论气相组成：
- 对于 $x = 0.41$，计算 $y$：
$$ y = \frac{2.45 \times 0.41}{1 + (2.45 - 1) \times 0.41} = \frac{1.0045}{1 + 0.6045} = \frac{1.0045}{1.6045} = 0.626 $$
- 对于 $x = 0.28$，计算 $y$：
$$ y = \frac{2.45 \times 0.28}{1 + (2.45 - 1) \times 0.28} = \frac{0.686}{1 + 0.406} = \frac{0.686}{1.406} = 0.488 $$
- 对于 $x = 0.18$，计算 $y$：
$$ y = \frac{2.45 \times 0.18}{1 + (2.45 - 1) \times 0.18} = \frac{0.441}{1 + 0.261} = \frac{0.441}{1.261} = 0.350 $$
步骤 3：计算单板效率
单板效率定义为实际气相或液相组成与理论气相或液相组成之比。对于较低两层塔板，计算单板效率：
- 对于气相单板效率 ${E}_{mV}$：
$$ {E}_{mV} = \frac{y_{实际} - y_{下}}{y_{上} - y_{下}} $$
- 对于液相单板效率 ${E}_{mL}$：
$$ {E}_{mL} = \frac{x_{上} - x_{实际}}{x_{上} - x_{下}} $$
步骤 4：计算具体单板效率
- 对于气相单板效率 ${E}_{mV}$：
$$ {E}_{mV} = \frac{0.488 - 0.350}{0.626 - 0.350} = \frac{0.138}{0.276} = 0.500 $$
$$ {E}_{mV} = \frac{0.350 - 0.18}{0.488 - 0.18} = \frac{0.17}{0.308} = 0.552 $$
- 对于液相单板效率 ${E}_{mL}$：
$$ {E}_{mL} = \frac{0.41 - 0.28}{0.41 - 0.18} = \frac{0.13}{0.23} = 0.565 $$
$$ {E}_{mL} = \frac{0.28 - 0.18}{0.28 - 0.18} = \frac{0.10}{0.10} = 1.000 $$