1-21 某种聚合物的重量分布函数为: (omega )_(x)=k(x)^2 =1, 2,3,4,求数均聚合度Xn,重均聚合度Xu。

考查要点：本题主要考查数均聚合度（$\overline{X}_n$）和重均聚合度（$\overline{X}_w$）的计算，需要掌握重量分布函数的应用及两个聚合度的定义式。

解题核心思路：

1. 确定归一化系数$k$：根据重量分布函数$\omega_x = kx^2$，利用总重量分数之和为1的条件求出$k$。
2. 数均聚合度$\overline{X}_n$：通过公式$\overline{X}_n = \frac{1}{\sum \frac{\omega_x}{x}}$计算，需先求$\sum \frac{\omega_x}{x}$。
3. 重均聚合度$\overline{X}_w$：直接通过公式$\overline{X}_w = \sum x \omega_x$计算。

破题关键点：

• 正确归一化：通过$\sum \omega_x = 1$确定$k$的值。
• 公式变形：数均公式需对$\sum \frac{\omega_x}{x}$求倒数，重均公式直接累加$x \omega_x$。

步骤1：确定归一化系数$k$

根据重量分布函数$\omega_x = kx^2$，总重量分数之和为1：
$\sum_{x=1}^4 \omega_x = k(1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2) = k \cdot 30 = 1 \implies k = \frac{1}{30}.$

步骤2：计算数均聚合度$\overline{X}_n$

数均公式为：
$\overline{X}_n = \frac{1}{\sum_{x=1}^4 \frac{\omega_x}{x}}.$
计算分母部分：
$\sum_{x=1}^4 \frac{\omega_x}{x} = \sum_{x=1}^4 \frac{kx^2}{x} = k \sum_{x=1}^4 x = \frac{1}{30} \cdot (1 + 2 + 3 + 4) = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}.$
因此：
$\overline{X}_n = \frac{1}{\frac{1}{3}} = 3.$

步骤3：计算重均聚合度$\overline{X}_w$

重均公式为：
$\overline{X}_w = \sum_{x=1}^4 x \omega_x.$
代入$\omega_x = \frac{1}{30}x^2$：
$\overline{X}_w = \frac{1}{30} \sum_{x=1}^4 x^3 = \frac{1}{30} (1 + 8 + 27 + 64) = \frac{100}{30} = \frac{10}{3} \approx 3.33.$