写出第三强度理论的相当应力表达式 。

本题考查第三强度理论的相当应力表达式这一知识点。解题思路是直接依据第三强度理论的定义来得出相当应力的表达式。

第三强度理论认为，当构件内一点处的最大切应力达到材料在单向拉伸屈服时的最大切应力时，该点就发生屈服。

在平面应力状态下，设主应力为$\sigma_1$、$\sigma_2$、$\sigma_3$（$\sigma_1\geq\sigma_2\geq\sigma_3$），最大切应力$\tau_{max}=\frac{\sigma_1 - \sigma_3}{2}$。

对于单向拉伸屈服时，设屈服应力为$\sigma_s$，此时$\sigma_1=\sigma_s$，$\sigma_2 = \sigma_3=0$，则单向拉伸屈服时的最大切应力$\tau_{s}=\frac{\sigma_s - 0}{2}=\frac{\sigma_s}{2}$。

根据第三强度理论，当$\tau_{max}=\tau_{s}$时发生屈服，即$\frac{\sigma_1 - \sigma_3}{2}=\frac{\sigma_s}{2}$，也就是$\sigma_1 - \sigma_3=\sigma_s$。

引入安全因数$n$，则强度条件为$\sigma_{r3}=\sigma_1 - \sigma_3\leq[\sigma]$，其中$\sigma_{r3}$为第三强度理论的相当应力。

在平面应力状态下，若已知正应力$\sigma$和切应力$\tau$，主应力$\sigma_{1,2}=\frac{\sigma}{2}\pm\sqrt{(\frac{\sigma}{2})^2+\tau^2}$，$\sigma_3 = 0$。

$\sigma_{r3}=\sigma_1 - \sigma_3=\left(\frac{\sigma}{2}+\sqrt{(\frac{\sigma}{2})^2+\tau^2}\right)-0=\sqrt{\frac{\sigma^{2}}{4}+\tau^{2}+\frac{\sigma^{2}}{4}}=\sqrt{\sigma^{2}+4\tau^{2}}=(\sigma^{2}+4\tau^{2})^{\frac{1}{2}}$