题目
已知某单元体的应力状态为sigma_(x)=60 MPa，sigma_(y)=-40 MPa，tau_(xy)=30 MPa，则该点的主应力sigma_(1)=____MPa，sigma_(2)=____MPa。
已知某单元体的应力状态为$\sigma_{x}=60$ MPa，$\sigma_{y}=-40$ MPa，$\tau_{xy}=30$ MPa，则该点的主应力$\sigma_{1}=$____MPa，$\sigma_{2}=$____MPa。
题目解答
答案
根据主应力公式：
\[
\sigma_{1,2} = \frac{\sigma_{x} + \sigma_{y}}{2} \pm \sqrt{\left( \frac{\sigma_{x} - \sigma_{y}}{2} \right)^2 + \tau_{xy}^2}
\]
将已知值代入：
\[
\sigma_{1,2} = 10 \pm \sqrt{2500 + 900} = 10 \pm 10\sqrt{34}
\]
因此：
\[
\sigma_{1} = 10 + 10\sqrt{34} \, \text{MPa}, \quad \sigma_{2} = 10 - 10\sqrt{34} \, \text{MPa}
\]
或近似为：
\[
\sigma_{1} \approx 68.3 \, \text{MPa}, \quad \sigma_{2} \approx -48.3 \, \text{MPa}
\]
答案：
\[
\sigma_{1} = 10 + 10\sqrt{34} \, \text{MPa}, \quad \sigma_{2} = 10 - 10\sqrt{34} \, \text{MPa}
\]
（或$\sigma_{1} \approx 68.3 \, \text{MPa}$，$\sigma_{2} \approx -48.3 \, \text{MPa}$。）
解析
本题考查平面应力状态下主应力的计算。解题思路是利用平面应力状态下主应力的计算公式，将已知的应力分量代入公式进行计算。
已知平面应力状态下主应力的计算公式为：
$\sigma_{1,2} = \frac{\sigma_{x} + \sigma_{y}}{2} \pm \sqrt{\left( \frac{\sigma_{x} - \sigma_{y}}{2} \right)^2 + \tau_{xy}^2}$
其中，$\sigma_{x}=60$ MPa，$\sigma_{y}=-40$ MPa，$\tau_{xy}=30$ MPa。
- 首先计算$\frac{\sigma_{x} + \sigma_{y}}{2}$的值：
$\frac{\sigma_{x} + \sigma_{y}}{2}=\frac{60 + (-40)}{2}=\frac{20}{2}=10$ - 然后计算$\left( \frac{\sigma_{x} - \sigma_{y}}{2} \right)^2 + \tau_{xy}^2$的值：
- 先计算$\frac{\sigma_{x} - \sigma_{y}}{2}$：
$\frac{\sigma_{x} - \sigma_{y}}{2}=\frac{60 - (-40)}{2}=\frac{100}{2}=50$ - 再计算$\left( \frac{\sigma_{x} - \sigma_{y}}{2} \right)^2$：
$\left( \frac{\sigma_{x} - \sigma_{y}}{2} \right)^2 = 50^2 = 2500$ - 接着计算$\tau_{xy}^2$：
$\tau_{xy}^2 = 30^2 = 900$ - 最后计算$\left( \frac{\sigma_{x} - \sigma_{y}}{2} \right)^2 + \tau_{xy}^2$：
$\left( \frac{\sigma_{x} - \sigma_{y}}{2} \right)^2 + \tau_{xy}^2 = 2500 + 900 = 3400$
- 先计算$\frac{\sigma_{x} - \sigma_{y}}{2}$：
- 计算$\sqrt{\left( \frac{\sigma_{x} - \sigma_{y}}{2} \right)^2 + \tau_{xy}^2}$的值：
$\sqrt{\left( \frac{\sigma_{x} - \sigma_{y}}{2} \right)^2 + \tau_{xy}^2}=\sqrt{3400}=10\sqrt{34}$ - 将上述计算结果代入主应力公式：
$\sigma_{1,2} = 10 \pm 10\sqrt{34}$ - 确定主应力$\sigma_{1}$和$\sigma_{2}$的值：
因为$\sigma_{1}>\sigma_{2}$，所以$\sigma_{1} = 10 + 10\sqrt{34}$ MPa，$\sigma_{2} = 10 - 10\sqrt{34}$ MPa。
若取近似值，$\sqrt{34}\approx5.83$，则$\sigma_{1} \approx 10 + 10\times5.83 = 68.3$ MPa，$\sigma_{2} \approx 10 - 10\times5.83 = -48.3$ MPa。