题目
5-4 已知一点的应力状态如图 5-29 所示(应力状态为MPa)。试用解析法求(1)指定斜-|||-截面上的应力。(2)主应力及其方位,并在单元体上画出主应力状态。(3)最大切应力。-|||-40 20-|||-40 60 30 60° 40-|||-45 100 60 60-|||-a) b) c)
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算指定斜截面上的应力
对于给定的应力状态，我们首先需要计算指定斜截面上的正应力和切应力。这可以通过应力变换公式来完成。对于斜截面，我们有：
${\sigma }_{n}=\frac{{\sigma }_{x}+{\sigma }_{y}}{2}+\frac{{\sigma }_{x}-{\sigma }_{y}}{2}\cos 2\alpha +{\tau }_{xy}\sin 2\alpha$
${\tau }_{n}=\frac{{\sigma }_{x}-{\sigma }_{y}}{2}\sin 2\alpha +{\tau }_{xy}\cos 2\alpha$
其中，${\sigma }_{x}$ 和 ${\sigma }_{y}$ 是主应力，${\tau }_{xy}$ 是切应力，$\alpha$ 是斜截面与 x 轴的夹角。
步骤 2：计算主应力及其方位
主应力可以通过求解应力状态的特征方程来获得。特征方程为：
$\left|{\sigma }_{x}-\sigma \right|\left|{\sigma }_{y}-\sigma \right|\left|{\tau }_{xy}\right|=0$
解此方程可得主应力 ${\sigma }_{1}$、${\sigma }_{2}$ 和 ${\sigma }_{3}$。主应力的方向可以通过求解应力状态的特征向量来获得。
步骤 3：计算最大切应力
最大切应力可以通过主应力的差值来计算。最大切应力为：
${\tau }_{max}=\frac{{\sigma }_{1}-{\sigma }_{3}}{2}$
对于给定的应力状态，我们首先需要计算指定斜截面上的正应力和切应力。这可以通过应力变换公式来完成。对于斜截面，我们有：
${\sigma }_{n}=\frac{{\sigma }_{x}+{\sigma }_{y}}{2}+\frac{{\sigma }_{x}-{\sigma }_{y}}{2}\cos 2\alpha +{\tau }_{xy}\sin 2\alpha$
${\tau }_{n}=\frac{{\sigma }_{x}-{\sigma }_{y}}{2}\sin 2\alpha +{\tau }_{xy}\cos 2\alpha$
其中，${\sigma }_{x}$ 和 ${\sigma }_{y}$ 是主应力，${\tau }_{xy}$ 是切应力，$\alpha$ 是斜截面与 x 轴的夹角。
步骤 2：计算主应力及其方位
主应力可以通过求解应力状态的特征方程来获得。特征方程为：
$\left|{\sigma }_{x}-\sigma \right|\left|{\sigma }_{y}-\sigma \right|\left|{\tau }_{xy}\right|=0$
解此方程可得主应力 ${\sigma }_{1}$、${\sigma }_{2}$ 和 ${\sigma }_{3}$。主应力的方向可以通过求解应力状态的特征向量来获得。
步骤 3：计算最大切应力
最大切应力可以通过主应力的差值来计算。最大切应力为：
${\tau }_{max}=\frac{{\sigma }_{1}-{\sigma }_{3}}{2}$