七.从某钢构件中取下的一个向应单元体状态如图所示,应力单位为MPa。已知-|||-泊松比 mu =0.3, 许用应力 [ 0] =100MPa, 试求主应力及单元体内最大切应力,并按第一-|||-和第二强度理论校核其强度。(15分)-|||-y-|||-60-|||-40

步骤 1：确定主应力
首先，由于单元体左、右截面上无切应力，所以该截面为主平面，其上的正应力即为一个主应力 ${\sigma }^{\circ }=60MPa$。在单元体上平行于该截面的截面上的应力值与该截面无关。因此，确定另外两个主应力时，可以使用图b所示的平面应力状态。

步骤 2：计算另外两个主应力
由式 $(8-5)$ 并代入 ${\sigma }_{1}=-20$, ${\sigma }_{2}=0$, ${\tau }_{xy}=-40$ 得：
\[
{\sigma }^{\circ }=\dfrac {-20+0}{2}\pm \sqrt {{(\dfrac {-20-0}{2})}^{2}+{(-40)}^{2}}=31.23MPa
\]
因此，另外两个主应力为 ${\sigma }_{1}=60MPa$，${\sigma }_{2}=31.23MPa$，${\sigma }_{3}=-51.23MPa$。

步骤 3：计算单元体内最大切应力
单元体内最大切应力为：
\[
{\tau }_{max}=\dfrac {{\sigma }_{1}-{\sigma }_{3}}{2}=\dfrac {60-(-51.23)}{2}=55.615MPa
\]

步骤 4：按第一强度理论校核强度
第一强度理论（最大拉应力理论）：
\[
{\sigma }_{1}\leqslant [ 0]
\]
代入 ${\sigma }_{1}=60MPa$ 和 $[ 0] =100MPa$，得到：
\[
60MPa \leqslant 100MPa
\]
满足第一强度理论。

步骤 5：按第二强度理论校核强度
第二强度理论（最大拉应变理论）：
\[
{\sigma }_{1}-\mu ({\sigma }_{2}+{\sigma }_{3})\leqslant [ 0]
\]
代入 ${\sigma }_{1}=60MPa$，${\sigma }_{2}=31.23MPa$，${\sigma }_{3}=-51.23MPa$，$\mu =0.3$，$[ 0] =100MPa$，得到：
\[
60-0.3(31.23-51.23)=66MPa \leqslant 100MPa
\]
满足第二强度理论。