已知单元体的应力状态如图7．4a所示，(应力单位为MPa)，试用解析法及图解法求： (1)主应力的大小和主平面的方位； (2)在单元体上绘出主平面位置及主应力方向。

(1)解析法从图中可知：σ x =一20MPa、τ x =20MPa、σ y =30MPa、τ y =一20MPa代入式(7-1)、式(7．2)分别得 以x轴线逆时针旋转19．33°就是主平面①的法线方向据此作出主平面①根据主平面②与主平面①的垂直关系可作出主平面②作出的主应力单元体如图7-4c所示。又因为σ x ＜σ y (|α 0 |＜45°)所以σ max 所在平面的法线应当与σ x 所在平面法线方向(即y轴方向)相交呈19．33°即平面②是σ max 所在的平面另一主平面是σ min 所在的平面以此画出主平面单元体的应力状态如图7．4c所示。(2)图解法建立如图7-4b所示的σ-τ坐标系按比例尺寸确定出D和D'两点连接D和D'两点与σ轴交于C点以C点为圆心CD为半径画出应力圆。从图中可以直接量出：σ max =37MPaσ min =一27MPa。从图中可知从D点逆时针转动38．66°为σ min 点对应在单元体上就是从x轴逆时针转动19．33°为σ min 所在平面的法线由此可以作出单元体并标注出单元体的应力状态。 解析法从图中可知：σx=一20MPa、τx=20MPa、σy=30MPa、τy=一20MPa,代入式(7-1)、式(7．2)分别得 以x轴线逆时针旋转19．33°,就是主平面①的法线方向,据此作出主平面①,根据主平面②与主平面①的垂直关系,可作出主平面②,作出的主应力单元体如图7-4c所示。又因为σx＜σy(|α0|＜45°)所以σmax所在平面的法线应当与σx所在平面法线方向(即y轴方向)相交呈19．33°,即平面②是σmax所在的平面,另一主平面是σmin所在的平面,以此画出主平面单元体的应力状态如图7．4c所示。(2)图解法建立如图7-4b所示的σ-τ坐标系,按比例尺寸确定出D和D'两点,连接D和D'两点与σ轴交于C点,以C点为圆心,CD为半径,画出应力圆。从图中可以直接量出：σmax=37MPa,σmin=一27MPa。从图中可知,从D点逆时针转动38．66°,为σmin点,对应在单元体上就是从x轴逆时针转动19．33°,为σmin所在平面的法线,由此可以作出单元体,并标注出单元体的应力状态。