【题目】-|||-已知图示单元体材料的弹性常数 =200GPa,V=0.3 。试求该单元体的形状改变能密度。-|||-30MPa-|||-70MPa-|||-50MPa-|||-40MPa

考查要点：本题主要考查形状改变能密度的计算，需要掌握主应力的求解方法以及形状改变能密度的公式。

解题核心思路：

1. 确定主应力：根据给定的应力分量，通过解特征方程或利用平面应力简化条件，求出三个主应力 $\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3$。
2. 代入公式计算：将主应力代入形状改变能密度公式：
   $v_A = \frac{1+\nu}{6E} \left[ (\sigma_1 - \sigma_2)^2 + (\sigma_2 - \sigma_3)^2 + (\sigma_3 - \sigma_1)^2 \right]$

破题关键点：

• 正确识别应力状态：题目中 $\sigma_z = 50\ \text{MPa}$，$\tau_{xz} = \tau_{yz} = 0$，因此只需计算平面内主应力 $\sigma_1, \sigma_3$，$\sigma_2 = 50\ \text{MPa}$。
• 单位统一：注意弹性模量 $E$ 的单位为 $\text{GPa}$，需转换为 $\text{Pa}$，应力单位 $\text{MPa}$ 转换为 $\text{Pa}$。

步骤1：求主应力

1. 平面内主应力：
   平均应力 $\sigma_{\text{avg}} = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} = \frac{70 + 30}{2} = 50\ \text{MPa}$，
   应力差 $\Delta = \sqrt{\left( \frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \right)^2 + \tau_{xy}^2} = \sqrt{20^2 + 40^2} \approx 44.7\ \text{MPa}$，
   因此：
   $\sigma_1 = \sigma_{\text{avg}} + \Delta \approx 94.7\ \text{MPa}, \quad \sigma_3 = \sigma_{\text{avg}} - \Delta \approx 5.3\ \text{MPa}$

2. 第三主应力：
   由 $\sigma_z = 50\ \text{MPa}$，故 $\sigma_2 = 50\ \text{MPa}$。

步骤2：计算形状改变能密度

将主应力代入公式：
$\begin{aligned}v_A &= \frac{1+0.3}{6 \times 200 \times 10^9} \left[ (94.7 - 50)^2 + (50 - 5.3)^2 + (5.3 - 94.7)^2 \right] \times 10^{12} \\&= \frac{1.3}{1.2 \times 10^{12}} \left[ 44.7^2 + 44.7^2 + 89.4^2 \right] \times 10^{12} \\&= 12.99 \times 10^3\ \text{N/m}^2 = 13.0\ \text{kN·m/m}^3\end{aligned}$