题目

纯金属凝固均匀形核时，已知单位体积的自由能变化为triangle G，比表面能为sigma。请回答下列问题：(1) 若晶核是立方体，求临界晶核的边长a^和形核功triangle G^的表达式；(2) 在相同的过冷度条件下，立方体晶核和球状晶核的形核功哪个大？为什么？

纯金属凝固均匀形核时，已知单位体积的自由能变化为$\triangle G$，比表面能为$\sigma$。请回答下列问题： (1) 若晶核是立方体，求临界晶核的边长$a^{*}$和形核功$\triangle G^{*}$的表达式； (2) 在相同的过冷度条件下，立方体晶核和球状晶核的形核功哪个大？为什么？

题目解答

答案

(1) 对立方体晶核，临界边长为： \[ a^* = \frac{4\sigma}{\Delta G} \] 形核功为： \[ \Delta G^* = \frac{32\sigma^3}{\Delta G^2} \] (2) 球状晶核的形核功为： \[ \Delta G^*_{\text{球状}} = \frac{16\pi \sigma^3}{3\Delta G^2} \] 比较两者： \[ \Delta G^*_{\text{立方体}} = \frac{32\sigma^3}{\Delta G^2} > \Delta G^*_{\text{球状}} = \frac{16\pi \sigma^3}{3\Delta G^2} \] 因此，立方体晶核的形核功更大。原因在于球状晶核的表面积与体积比最小，能更有效地降低表面能，而立方体晶核的表面积相对较大，导致形核功更高。最终结论：立方体晶核的形核功大于球状晶核的形核功。

解析

考查要点：本题主要考查金属凝固过程中均匀形核的临界尺寸和形核功的计算，以及不同晶核形状对形核功的影响。

解题核心思路：

临界尺寸的确定：通过能量平衡原理，找到形核功的最小值点。形核功是表面能的增加与体积自由能的减少之差，对尺寸求导并令导数为零，得到临界尺寸。
形核功的计算：将临界尺寸代入形核功表达式，计算最小形核功。
形状对形核功的影响：比较不同形状的表面积与体积比，表面积与体积比越小，形核功越小。

破题关键点：

立方体与球体的几何关系：立方体的表面积与体积比为 $6/a$，球体为 $3/r$，球体的比更小。
临界条件的数学推导：通过求导找到形核功的最小值点，建立方程求解临界尺寸。

第（1）题

建立形核功表达式

立方体晶核的表面积为 $6a^2$，体积为 $a^3$，形核功为：
$\Delta G^* = \sigma \cdot 6a^2 - \Delta G \cdot a^3$

求导找临界点

对 $a$ 求导并令导数为零：
$\frac{d(\Delta G^*)}{da} = 12\sigma a - 3\Delta G a^2 = 0 \implies a^* = \frac{4\sigma}{\Delta G}$

计算形核功

将 $a^* = \frac{4\sigma}{\Delta G}$ 代入形核功表达式：
$\Delta G^* = \sigma \cdot 6\left(\frac{4\sigma}{\Delta G}\right)^2 - \Delta G \cdot \left(\frac{4\sigma}{\Delta G}\right)^3 = \frac{32\sigma^3}{\Delta G^2}$

第（2）题

球状晶核的形核功

球状晶核的临界半径为 $r^* = \frac{2\sigma}{\Delta G}$，形核功为：
$\Delta G^*_{\text{球状}} = \frac{16\pi \sigma^3}{3\Delta G^2}$

比较形核功大小

立方体与球状形核功之比为：
$\frac{\Delta G^*_{\text{立方体}}}{\Delta G^*_{\text{球状}}} = \frac{32}{\frac{16\pi}{3}} = \frac{6}{\pi} \approx 1.91 > 1$
因此，立方体晶核的形核功更大。

原因分析

球状晶核的表面积与体积比最小（$3/r$），能更高效地降低表面能；而立方体的表面积与体积比更大（$6/a$），导致形核功更高。