题目
某点应力状态如图所示(图中应力单位MPa),其三个主应力σ1= MPa: σ1= MPa, σ1= MPa。第三强度理论的相当应力σ1σ1
某点应力状态如图所示(图中应力单位MPa),其三个主应力
= MPa: 
= MPa, 
= MPa。第三强度理论的相当应力
题目解答
答案
主应力公式为：
已知条件：
计算过程：
因此：
2. 第三强度理论等效应力计算
等效应力公式为：
平面应力问题中，
，代入已知条件计算：
答案
主应力：
应力：
解析
步骤 1：计算主应力
根据主应力公式：
${\sigma }_{1,2}=\dfrac {{\sigma }_{x}+{\sigma }_{y}}{2}\pm \sqrt {{(\dfrac {{\sigma }_{x}-{\sigma }_{y}}{2})}^{2}+{{\tau }_{xy}}^{2}}$
已知条件：
${\sigma }_{x}=40MPa$ ${\sigma }_{y}=0MPa$ ${\tau }_{xy}=15MPa$
计算过程：
$\dfrac {{\sigma }_{x}+{\sigma }_{y}}{2}=\dfrac {40+0}{2}=20MPa$
${(\dfrac {{\sigma }_{x}-{\sigma }_{y}}{2})}^{2}={(\dfrac {40-0}{2})}^{2}={20}^{2}=400$
${{\tau }_{xy}}^{2}={15}^{2}=225$
$\sqrt {{(\dfrac {{\sigma }_{x}-{\sigma }_{y}}{2})}^{2}+{{\tau }_{xy}}^{2}}=\sqrt {400+225}=\sqrt {625}=25MPa$
因此：
${\sigma }_{1}=20+25=45MPa$
${\sigma }_{2}=20-25=-5MPa$
步骤 2：计算第三强度理论的相当应力
等效应力公式为：
${\sigma }_{r}=\sqrt {\dfrac {1}{2}[ {({\sigma }_{1}-{\sigma }_{2})}^{2}+{({\sigma }_{2}-{\sigma }_{3})}^{2}+{({\sigma }_{3}-{\sigma }_{1})}^{2}] }$
平面应力问题中，${\sigma }_{3}=0$，代入已知条件计算：
${\sigma }_{r}=\sqrt {\dfrac {1}{2}[ {(45-(-5))}^{2}+{((-5)-0)}^{2}+{(0-45)}^{2}] }$
${\sigma }_{r}=\sqrt {\dfrac {1}{2}[ {50}^{2}+{(-5)}^{2}+{(-45)}^{2}] }$
${\sigma }_{r}=\sqrt {\dfrac {1}{2}[ 2500+25+2025] }$
${\sigma }_{r}=\sqrt {\dfrac {1}{2}\cdot 4550}$
${\sigma }_{r}=\sqrt {2275}\approx 47.7MPa$
根据主应力公式：
${\sigma }_{1,2}=\dfrac {{\sigma }_{x}+{\sigma }_{y}}{2}\pm \sqrt {{(\dfrac {{\sigma }_{x}-{\sigma }_{y}}{2})}^{2}+{{\tau }_{xy}}^{2}}$
已知条件：
${\sigma }_{x}=40MPa$ ${\sigma }_{y}=0MPa$ ${\tau }_{xy}=15MPa$
计算过程：
$\dfrac {{\sigma }_{x}+{\sigma }_{y}}{2}=\dfrac {40+0}{2}=20MPa$
${(\dfrac {{\sigma }_{x}-{\sigma }_{y}}{2})}^{2}={(\dfrac {40-0}{2})}^{2}={20}^{2}=400$
${{\tau }_{xy}}^{2}={15}^{2}=225$
$\sqrt {{(\dfrac {{\sigma }_{x}-{\sigma }_{y}}{2})}^{2}+{{\tau }_{xy}}^{2}}=\sqrt {400+225}=\sqrt {625}=25MPa$
因此：
${\sigma }_{1}=20+25=45MPa$
${\sigma }_{2}=20-25=-5MPa$
步骤 2：计算第三强度理论的相当应力
等效应力公式为：
${\sigma }_{r}=\sqrt {\dfrac {1}{2}[ {({\sigma }_{1}-{\sigma }_{2})}^{2}+{({\sigma }_{2}-{\sigma }_{3})}^{2}+{({\sigma }_{3}-{\sigma }_{1})}^{2}] }$
平面应力问题中，${\sigma }_{3}=0$，代入已知条件计算：
${\sigma }_{r}=\sqrt {\dfrac {1}{2}[ {(45-(-5))}^{2}+{((-5)-0)}^{2}+{(0-45)}^{2}] }$
${\sigma }_{r}=\sqrt {\dfrac {1}{2}[ {50}^{2}+{(-5)}^{2}+{(-45)}^{2}] }$
${\sigma }_{r}=\sqrt {\dfrac {1}{2}[ 2500+25+2025] }$
${\sigma }_{r}=\sqrt {\dfrac {1}{2}\cdot 4550}$
${\sigma }_{r}=\sqrt {2275}\approx 47.7MPa$