板框压滤机过滤某种水悬浮液,已知框的长×宽×高为810 mm×810 mm×42 mm,总框数为10,滤饼体积与滤液体积比为=0.1,过滤10 min,得滤液量为1.31 m3,再过滤10 min,共得滤液量为1.905 m3,试求(1)滤框充满滤饼时所需过滤时间;(2)若洗涤与辅助时间共45 min,求该装置的生产能力(以得到的滤饼体积计)。

本题主要考查板框压滤机机的过滤时间和生产能力的计算，解题思路如下：

1. 计算过滤面积：根据板框压滤机的尺寸和框数，计算出过滤面积。
2. 求解过滤常数：利用恒压过滤方程式，结合已知的不同时间对应的滤液量，联立方程组求解过滤常数$V_e$和$K$。
3. 计算滤框充满滤饼时的滤液量：根据滤饼体积与滤液体积比以及滤框的总体积，计算出滤框充满滤饼时的滤液量。
4. 计算滤框充满滤饼时所需过滤时间：将滤框充满滤饼时的滤液量代入恒压过滤方程式，求解过滤时间。
5. 计算生产能力：根据生产能力的计算公式，结合过滤时间和洗涤与辅助时间，计算出生产能力。

具体计算过程

1. 计算过滤面积$A$
   板框压滤机每个框有两个过滤面，框的长和宽均为$0.81m$，总框数为$10$，则过滤面积为：
   $A = 0.81^2\times 2\times 10 = 13.122m^2$
2. 求解过滤常数$V_e$和$K$
   恒压过滤方程式为$V^2 + 2VV_e = KA^2\theta$。
   已知过滤$10min$（$10\times60s$），得滤液量$V_1 = 1.31m^3$；再过滤$10min$（共$20min$，$20\times60s$），共得滤液量$V_2 = 1.905m^3$。
   将$V_1 = 1.31m^3$，\theta_1 = 10\times60s)代入恒压过滤方程式得：
   $1.31^2 + 2\times 1.31V_e = 13.122^2\times 10\times 60K$ ①
   将$V_2 = 1.905m^3$，$\theta_2 = 20\times10\times60s$代入恒压过滤方程式得：
   $1.905^2 + 2\times 1.905V_e = 13.122^2\times 20\times 60K$ ②
   由①式两边同时乘以$2$得：
   $2\times1.31^2 + 4\times 1.31V_e = 13.122^2\times 20\times 60K$ ③
   用②式减去③式得：
   $\begin{align*}1.905^2 + 2\times 1.905V_e-(2\times1.31^2 + 4\times 1.31V_e)&=0\\1.905^2 - 2\times1.31^2 + (2\times 1.905 - 4\times 1.31)V_e&=0\\3.629025 - 3.4322 + (3.81 - 5.24)V_e&=0\\0.196825 - 1.43V_e&=0\\1.43V_e&=0.196825\\V_e&=0.1376m^3\end{align*}$
   将$V_e = 0.1376m^3$代入①式得：
   $\begin{align*}1.31^2 + 2\times 1.31\times 0.1376 = 13.12^2\times 10\times 60K\\1.7161 + 0.361232 = 1721.8944\times 600K\\2.077332 = 1033136.64K\\K&=2.010\times 10^{-5}m^2/s\end{align*}$
   将$V_e = 0.1376m^3$，$K = 2.010\times 10^{-5}m^2/s$，$A = 13.122m^2$代入恒压过滤方程式为：
   $V^2 + 2\times 0.1376V = 2.010\times 10^{-5}\times 13.122^2\theta$
   $V^2 + 0.2752V = 3.461\times 10^{-3}\theta$
3. 计算滤框充满滤饼时的滤液量$V$
   滤框的总体积$V_c = 0.81\times 0.81\times 0.042\times 10 = 0.2756m^3$。
   已知滤饼体积与滤液体积比为$v = 0.1$，则滤框充满滤饼时滤液量为：
   $V=\frac{V_c}{v}{v}=\frac{0.2756}{0.1}=2.756m^3$
4. 计算滤框充满滤饼时所需过滤时间$\theta$
   将$V = 2.756m^3$代入恒压过滤方程式$V^2 + 0.2752V = 3.461\times 10^{-3}\theta$得：
   $\theta=\frac{2.756^2 + 0.2752\times 2.756}{3.461\times 10^{-3}}s=\frac{7.595536+0.7583512}{3.461\times 10^{-3}}s=\frac{8.3738872}{3.461\times 10^{-3}}s = 2414s$
   将时间单位换算为分钟：$2414\div60\approx40.23min$
5. 计算生产能力$Q$
   已知洗涤与辅助时间$\theta_0 = 45min = 45\times60s$，生产能力$Q$以得到的滤饼体积计，滤饼体积$V_c = 0.2756m^3$，则生产能力为：
   $Q=\frac{V_c}{\theta+\theta_0}=\frac{0.2756}{2414 + 45\times 60}m^3/s=\frac{0.2756}{2414 + 2700}m^3/s=\frac{0.2756}{2684}m^3/s\approx4.823\times 10^{-5}m^3/s$
   将生产能力单位换算为$m^3/h$：$4.823\times 10^{-5}\times3600m^3/h = 0.206m^3/h$