已知应力状态如图所示,图中应力单位皆为MPa。试用解析法及图解法求:-|||-(1)主应力大小,主平面的方位;-|||-(2)在单元体上绘出主平面位置及主应力方向;-|||-(3)最大切应力。-|||-20 25-|||-square 50 square 20 square -|||-50-|||-(a) (b) (c)-|||-20 80 30-|||-square 40 square 20 square 20-|||-40-|||-20-|||-(d) (e) (f)

步骤 1：确定主应力和主平面方位
对于给定的应力状态，我们首先需要确定主应力和主平面的方位。主应力是应力状态下的最大和最小正应力，而主平面是这些应力作用的平面。主应力可以通过求解应力状态的特征方程得到，而主平面的方位可以通过求解应力状态的特征向量得到。

步骤 2：计算主应力
对于给定的应力状态，我们可以通过求解应力状态的特征方程来计算主应力。特征方程的形式为：
$$
\begin{vmatrix}
\sigma_{xx} - \sigma & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{xy} & \sigma_{yy} - \sigma & \tau_{yz} \\
\tau_{xz} & \tau_{yz} & \sigma_{zz} - \sigma
\end{vmatrix} = 0
$$
其中，$\sigma_{xx}$, $\sigma_{yy}$, $\sigma_{zz}$ 是主应力，$\tau_{xy}$, $\tau_{xz}$, $\tau_{yz}$ 是剪应力。解这个方程可以得到主应力的值。

步骤 3：计算主平面方位
主平面的方位可以通过求解应力状态的特征向量得到。特征向量的方向就是主平面的方向。特征向量可以通过求解以下方程得到：
$$
\begin{bmatrix}
\sigma_{xx} - \sigma & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{xy} & \sigma_{yy} - \sigma & \tau_{yz} \\
\tau_{xz} & \tau_{yz} & \sigma_{zz} - \sigma
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
n_x \\
n_y \\
n_z
\end{bmatrix} = 0
$$
其中，$n_x$, $n_y$, $n_z$ 是特征向量的分量，$\sigma$ 是主应力。解这个方程可以得到主平面的方位。

步骤 4：计算最大切应力
最大切应力可以通过以下公式计算：
$$
\tau_{max} = \frac{1}{2}(\sigma_1 - \sigma_3)
$$
其中，$\sigma_1$ 和 $\sigma_3$ 是主应力。

步骤 5：绘制主平面位置及主应力方向
在单元体上绘制主平面位置及主应力方向，需要根据主平面的方位和主应力的方向来绘制。主平面的方向就是特征向量的方向，主应力的方向就是主应力作用的方向。