题目
镍铬丝电阻率(300mathrm(K))为1times10^-6Omegacdotmathrm(m)，加热至400mathrm(K)时电阻率增加5%。假定在400mathrm(K)温度以下马基申法则成立，试计算由于晶格缺陷和杂质引起的电阻率。
镍铬丝电阻率$(300\mathrm{K})$为$1\times10^{-6}\Omega\cdot\mathrm{m}$，加热至$400\mathrm{K}$时电阻率增加$5\%$。假定在$400\mathrm{K}$温度以下马基申法则成立，试计算由于晶格缺陷和杂质引起的电阻率。
题目解答
答案
根据题目，$ \rho(300K) = 1 \times 10^{-6} \, \Omega \cdot m $，$ \rho(400K) = 1.05 \times 10^{-6} \, \Omega \cdot m $。
设 $ \rho_0(T) = \rho_0(300K) \frac{T}{300K} $，则：
\[
\rho(300K) = \rho_0(300K) + \rho_{\text{imp}} = 1 \times 10^{-6}
\]
\[
\rho(400K) = \frac{4}{3} \rho_0(300K) + \rho_{\text{imp}} = 1.05 \times 10^{-6}
\]
联立解得：
\[
\rho_0(300K) = 0.15 \times 10^{-6} \, \Omega \cdot m
\]
\[
\rho_{\text{imp}} = 0.85 \times 10^{-6} \, \Omega \cdot m
\]
最终结果：$ \rho_{\text{imp}} = 0.85 \times 10^{-6} \, \Omega \cdot m $。
解析
本题考查马基申法则在计算材料电阻率方面的应用。解题的关键在于理解马基申法则，即材料的总电阻率等于晶格缺陷和杂质引起的电阻率与温度相关的电阻率之和，并且根据已知条件建立关于不同温度下电阻率的方程，通过联立方程求解出晶格缺陷和杂质引起的电阻率。
- 首先明确已知条件：
- 已知镍铬丝在$T_1 = 300K$时的电阻率$\rho(300K)=1\times10^{-6}\Omega\cdot m$。
- 加热至$T_2 = 400K$时，电阻率增加$5\%$，那么$\rho(400K)=(1 + 5\%)\times\rho(300K)=1.05\times1\times10^{-6}\Omega\cdot m = 1.05\times10^{-6}\Omega\cdot m$。
- 设温度相关的电阻率$\rho_0(T)=\rho_0(300K)\frac{T}{300K}$，这是因为在$400K$温度以下马基申法则成立，且温度相关的电阻率与温度成正比。
- 然后根据马基申法则列出方程：
- 在$T_1 = 300K$时，总电阻率$\rho(300K)$等于温度相关的电阻率$\rho_0(300K)$与晶格缺陷和杂质引起的电阻率$\rho_{imp}$之和，即$\rho(300K)=\rho_0(300K)+\rho_{imp}=1\times10^{-6}$ ①。
- 在$T_2 = 400K$时，温度相关的电阻率$\rho_0(400K)=\rho_0(300K)\frac{400}{300}=\frac{4}{3}\rho_0(300K)$，此时总电阻率$\rho(400K)$等于$\rho_0(400K)$与$\rho_{imp}$之和，即$\rho(400K)=\frac{4}{3}\rho_0(300K)+\rho_{imp}=1.05\times10^{-6}$ ②。
- 最后联立方程求解：
- 用②式减去①式消去$\rho_{imp}$可得：
$\begin{align*}\frac{4}{3}\rho_0(300K)+\rho_{imp}-(\rho_0(300K)+\rho_{imp})&=1.05\times10^{-6}-1\times10^{-6}\\\frac{4}{3}\rho_0(300K)+\rho_{imp}-\rho_0(300K)-\rho_{imp}&=0.05\times10^{-6}\\\frac{4}{3}\rho_0(300K)-\rho_0(300K)&=0.05\times10^{-6}\\\frac{4}{3}\rho_0(300K)-\frac{3}{3}\rho_0(300K)&=0.05\times10^{-6}\\\frac{1}{3}\rho_0(300K)&=0.05\times10^{-6}\\\rho_0(300K)&=0.05\times10^{-6}\times3\\\rho_0(300K)&=0.15\times10^{-6}\Omega\cdot m\end{align*}$ - 将$\rho_0(300K)=0.15\times10^{-6}\Omega\cdot m$代入①式可得：
$\begin{align*}0.15\times10^{-6}+\rho_{imp}&=1\times10^{-6}\\\rho_{imp}&=1\times10^{-6}-0.15\times10^{-6}\\\rho_{imp}&=0.85\times10^{-6}\Omega\cdot m\end{align*}$
- 用②式减去①式消去$\rho_{imp}$可得：