题目

一零件由 45 钢制成，材料的力学性能为：sigma_(s)=360MPa，sigma_(-1)=200MPa，sigma_(0)=340MPa。已知零件上的最大工作应力sigma_(max)=190MPa，最小工作应力sigma_(min)=110MPa，应力变化规律为sigma_(m)=常数，弯曲疲劳极限的综合影响系数K_(sigma)=2.0。（1）按比例绘制该零件的简化极限应力线图；（4分）（2）根据极限应力线图，判断该零件将可能发生何种破坏；（2分）（3）用图解法确定该零件的计算安全系数。（4分）

一零件由 45 钢制成，材料的力学性能为：$\sigma_{s}=360MPa$，$\sigma_{-1}=200MPa$，$\sigma_{0}=340MPa$。已知零件上的最大工作应力$\sigma_{max}=190MPa$，最小工作应力$\sigma_{min}=110MPa$，应力变化规律为$\sigma_{m}=$常数，弯曲疲劳极限的综合影响系数$K_{\sigma}=2.0$。

（1）按比例绘制该零件的简化极限应力线图；（4分）

（2）根据极限应力线图，判断该零件将可能发生何种破坏；（2分）

（3）用图解法确定该零件的计算安全系数。（4分）

题目解答

答案

  1. 根据题目数据，$\sigma_s / K_{\sigma} = 180\,\text{MPa}$，$\sigma_{-1} / K_{\sigma} = 100\,\text{MPa}$，$\sigma_0 / K_{\sigma} = 170\,\text{MPa}$。
    简化极限应力线图：
  • 屈服线：$\sigma_a + \sigma_m = 180$，连接 $(0, 180)$ 和 $(180, 0)$。
  • 疲劳线：$\sigma_a = -\frac{100}{170} \sigma_m + 100$，连接 $(0, 100)$ 和 $(170, 0)$。
  1. 工作点 $(\sigma_m, \sigma_a) = (150, 40)$。
  • 屈服线对应 $\sigma_a' = 30\,\text{MPa}$。
  • 疲劳线对应 $\sigma_a'' \approx 11.76\,\text{MPa}$。
    工作点位于屈服线上方，故发生塑性屈服破坏。
  1. 安全系数：
    $n = \frac{\sigma_a'}{\sigma_a} = \frac{30}{40} = 0.75$
    结论：零件不安全，将发生屈服破坏，$n = 0.75$。

（图示略，可参考文字描述。）

解析

本题主要考察材料力学中疲劳强度和屈服强度的相关知识，解题思路是先根据已知条件计算出相关参数，绘制简化极限应力线图，再通过判断工作点与极限应力线的位置关系确定零件可能发生的破坏形式，最后用图解法计算零件的计算安全系数。

  1. 计算相关参数：
    • 已知材料的力学性能为：$\sigma_{s}=360MPa$，$\sigma_{-1}=200MPa$，$\sigma_{0}=340MPa$，弯曲疲劳极限的综合影响系数$K_{\sigma}=2.0$。
    • 计算考虑综合影响系数后的屈服极限、对称循环疲劳极限和脉动循环疲劳极限：
      • $\frac{\sigma_{s}}{K_{\sigma}}=\frac{360}{2.0}=180MPa$
      • $\frac{\sigma_{-1}}{K_{\sigma}}=\frac{200}{2.0}=100MPa$
      • $\frac{\sigma_{0}}{K_{\sigma}}=\frac{340}{2.0}=170MPa$
  2. 绘制简化极限应力线图：
    • 对于屈服线，根据屈服条件$\sigma_{a}+\sigma_{m}=\frac{\sigma_{s}}{K_{\sigma}}$，可得屈服线方程为$\sigma_{a}+\sigma_{m}=180$。当$\sigma_{a}=0$时，$\sigma_{m}=180$；当$\sigma_{m}=0$时，$\sigma_{a}=180$，所以屈服线连接点$(0, 180)$和$(180, 0)$。
    • 对于疲劳线，根据疲劳极限的经验公式$\frac{\sigma_{a}}{\frac{\sigma_{-1}}{K_{\sigma}}}+\frac{\sigma_{m}}{\frac{\sigma_{0}}{K_{\sigma}}}=1$，将$\frac{\sigma_{-1}}{K_{\sigma}} = 100MPa$，$\frac{\sigma_{0}}{K_{\sigma}} = 170MPa$代入可得：$\frac{\sigma_{a}}{100}+\frac{\sigma_{m}}{170}=1$，整理得$\sigma_{a}=-\frac{100}{170}\sigma_{m}+100$。当$\sigma_{a}=0$时，$\sigma_{m}=170$；当$\sigma_{m}=0$时，$\sigma_{a}=100$，所以疲劳线连接点$(0, 100)$和$(170, 0)$。
  3. 确定工作点坐标：
    • 已知零件上的最大工作应力$\sigma_{max}=190MPa$，最小工作应力$\sigma_{min}=110MPa$。
    • 计算平均应力$\sigma_{m}=\frac{\sigma_{max}+\sigma_{min}}{2}=\frac{190 + 110}{2}=150MPa$。
    • 计算应力幅$\sigma_{a}=\frac{\sigma_{max}-\sigma_{min}}{2}=\frac{190 - 110}{2}=40MPa$。
    • 所以工作点坐标为$(\sigma_{m},\sigma_{a})=(150, 40)$。
  4. 判断零件可能发生的破坏形式：
    • 过工作点作$\sigma_{m} = 150MPa$的垂线，与屈服线相交，此时对应的应力幅$\sigma_{a}'$可由屈服线方程$\sigma_{a}+\sigma_{m}=180$计算，将$\sigma_{m}=150$代入得$\sigma_{a}'=180 - 150 = 30MPa$。
    • 该垂线与疲劳线相交，此时对应的应力幅$\sigma_{a}''$可由疲劳线方程$\sigma_{a}=-\frac{100}{170}\sigma_{m}+100$计算，将$\sigma_{m}=150$代入得$\sigma_{a}''=-\frac{100}{170}\times150 + 100=\frac{-15000 + 17000}{170}=\frac{2000}{170}\approx11.76MPa$。
    • 因为工作点的应力幅$\sigma_{a}=40MPa$大于屈服线对应的应力幅$\sigma_{a}' = 30MPa$，所以工作点位于屈服线上方，故零件将发生塑性屈服破坏。
  5. 用图解法确定零件的计算安全系数：
    • 安全系数$n$的计算公式为$n=\frac{\sigma_{a}'}{\sigma_{a}}$，将$\sigma_{a}' = 30MPa$，$\sigma_{a}=40MPa$代入得$n=\frac{30}{40}=0.75$。