题目
几何形状完全相同的两根梁,一根为钢材,一根为铝材。若两根梁受力情况也相同,则它们的()。A. 弯曲应力相同,轴线曲率不同;B. 弯曲应力不同,轴线曲率相同;C. 弯曲应力与轴线曲率均相同;D. 弯曲应力与轴线曲率均不同。
几何形状完全相同的两根梁,一根为钢材,一根为铝材。若两根梁受力情况也相同,则它们的()。
A. 弯曲应力相同,轴线曲率不同;
B. 弯曲应力不同,轴线曲率相同;
C. 弯曲应力与轴线曲率均相同;
D. 弯曲应力与轴线曲率均不同。
题目解答
答案
A. 弯曲应力相同,轴线曲率不同;
解析
本题考查材料力学中梁的弯曲应力和轴线曲率的相关知识。解题的关键在于理解弯曲应力和轴线曲率的计算公式,并分析钢材和铝材的不同性质对它们的影响。
1. 分析弯曲应力
梁的弯曲正应力计算公式为$\sigma=\frac{M y}{I_z}$,其中$\sigma$为弯曲正应力,$M$为梁横截面上的弯矩,$y$为所求应力点到中性轴的距离,$I_z$为截面对中性轴的惯性矩。
已知两根梁几何形状完全相同,这意味着它们的截面尺寸相同,所以$I_z$相同;两根梁受力情况也相同,即横截面上的弯矩$M$相同;对于同一位置的点,$y$也相同。
由于$\sigma=\frac{M y}{I_z}$,且$M$、$y$、$I_z$都相同,所以两根梁的弯曲应力$\sigma$相同。
2. 分析轴线曲率
梁的轴线曲率与梁的材料弹性模量$E$有关,其关系为$\frac{1}{\rho}=\frac{M}{E I_z}$,其中$\frac{1}{\rho}$为轴线曲率,$\rho$为曲率半径。
虽然两根梁的$M$和$I_z$相同,但钢材和铝材的弹性模量$E$不同,钢材的弹性模量$E_{钢}$大于铝材的弹性模量$E_{铝}$。
根据$\frac{1}{\rho}=\frac{M}{E I_z}$,当$M$和$I_z$一定时,$E$越大,$\frac{1}{\rho}$越小,即曲率越小。所以两根梁的轴线曲率不同。