题目

一种 (Al)_2(O)_3 所制成的颗粒，其固体密度 rho_s = 3.9, (g/cm)^3，颗粒密度 rho_p = 1.9, (g/cm)^3，比表面积 S_g = 150, (m)^2/(g)，计算这种 (Al)_2(O)_3 颗粒的孔隙率、孔容和平均孔半径。若 (CH)_4 和 (H)_2 在该颗粒的微孔中进行等分子逆向扩散，估计 1, (atm)、600, (℃) 时 (CH)_4 的综合扩散系数。

一种 $\text{Al}_2\text{O}_3$ 所制成的颗粒，其固体密度 $\rho_s = 3.9\, \text{g/cm}^3$，颗粒密度 $\rho_p = 1.9\, \text{g/cm}^3$，比表面积 $S_g = 150\, \text{m}^2/\text{g}$，计算这种 $\text{Al}_2\text{O}_3$ 颗粒的孔隙率、孔容和平均孔半径。若 $\text{CH}_4$ 和 $\text{H}_2$ 在该颗粒的微孔中进行等分子逆向扩散，估计 $1\, \text{atm}$、$600\, \text{℃}$ 时 $\text{CH}_4$ 的综合扩散系数。

题目解答

答案

1. 孔隙率： \[ \varepsilon = 1 - \frac{\rho_p}{\rho_s} = 1 - \frac{1.9}{3.9} \approx 51.3\% \] 2. 孔容： \[ V_p = \frac{1}{\rho_p} - \frac{1}{\rho_s} = 0.27 \, \text{cm}^3/\text{g} \] 3. 平均孔半径： \[ r = \frac{2 V_p}{S_g} = \frac{2 \times 0.27}{150 \times 10^4} = 3.6 \, \text{nm} \] 4. 综合扩散系数： \[ D_K = \frac{r}{3} \sqrt{\frac{8 R T}{\pi M}} \approx 1.29 \times 10^{-6} \, \text{m}^2/\text{s} \] \[ D_m \approx 1.53 \times 10^{-7} \, \text{m}^2/\text{s} \] \[ D = \frac{D_m D_K}{D_m + D_K} \approx 1.4 \times 10^{-7} \, \text{m}^2/\text{s} \] 最终结果： - 孔隙率 $ \varepsilon \approx 51.3\% $ - 孔容 $ V_p \approx 0.27 \, \text{cm}^3/\text{g} $ - 平均孔半径 $ r \approx 3.6 \, \text{nm} $ - 综合扩散系数 $ D \approx 1.4 \times 10^{-7} \, \text{m}^2/\text{s} $

解析

本题主要考查了颗粒材料的孔隙率、孔容、平均孔半径的计算以及气体在微孔中综合扩散系数的估算，解题思路如下：

  1. 计算孔隙率：
    • 孔隙率是指颗粒中孔隙体积占总体积的比例。根据孔隙率的定义，可通过固体密度 $\rho_s$ 和颗粒密度 $\rho_p$ 来计算。
    • 公式为 $\varepsilon = 1 - \frac{\rho_p}{\rho_s}$。
    • 已知 $\rho_s = 3.9\, \text{g/cm}^3$，$\rho_p = 1.9\, \text{g/cm}^3$，将其代入公式可得：
      $\begin{align*}\varepsilon&= 1 - \frac{1.9}{3.9}\\&= 1 - 0.4872\\&\approx 0.513\\&= 51.3\%\end{align*}$
  2. 计算孔容：
    • 孔容是指单位质量颗粒中孔隙的体积。可以通过颗粒密度和固体密度的倒数差来计算。
    • 公式为 $V_p = \frac{1}{\rho_p} - \frac{1}{\rho_s}$。
    • 已知 $\rho_s = 3.9\, \text{g/cm}^3$，$\rho_p = 1.9\, \text{g/cm}^3$，将其代入公式可得：
      $\begin{align*}V_p&= \frac{1}{1.9} - \frac{1}{3.9}\\&\approx 0.5263 - 0.2564\\&= 0.2699\\&\approx 0.27 \, \text{cm}^3/\text{g}\end{align*}$
  3. 计算平均孔半径：
    • 平均孔半径可以根据孔容和比表面积来计算。
    • 公式为 $r = \frac{2 V_p}{S_g}$，需要注意单位的换算，将比表面积的单位从 $\text{m}^2/\text{g}$ 换算为 $\text{cm}^2/\text{g}$，$1\,\text{m}^2 = 10^4\,\text{cm}^2$。
    • 已知 $V_p = 0.27 \, \text{cm}^3/\text{g}$，$S_g = 150\, \text{m}^2/\text{g} = 150 \times 10^4\,\text{cm}^2/\text{g}$，将其代入公式可得：
      $\begin{align*}r&= \frac{2 \times 0.27}{150 \times 10^4}\\&= \frac{0.54}{150 \times 10^4}\\&= 3.6 \times 10^{-7}\, \text{cm}\\&= 3.6 \, \text{nm}\end{align*}$
  4. 计算综合扩散系数：
    • 首先计算克努森扩散系数 $D_K$，公式为 $D_K = \frac{r}{3} \sqrt{\frac{8 R T}{\pi M}}$，其中 $r$ 为平均孔半径，$R$ 为气体常数（$R = 8.314 \, \text{J/(mol·K)}$），$T$ 为温度，$M$ 为气体的摩尔质量。
    • 已知 $r = 3.6 \, \text{nm} = 3.6 \times 10^{-9}\, \text{m}$，$T = 600 + 273 = 873 \, \text{K}$，$M_{\text{CH}_4} = 16 \times 10^{-3} \, \text{kg/mol}$，将其代入公式可得：
      $\begin{align*}D_K&= \frac{3.6 \times 10^{-9}}{3} \sqrt{\frac{8 \times 8.314 \times 873}{\pi \times 16 \times 10^{-3}}}\\&\approx 1.2 \times 10^{-9} \times \sqrt{\frac{57344.256}{0.050265}}\\&\approx 1.2 \times 10^{-9} \times \sqrt{1140832.67}\\&\approx 1.2 \times 10^{-9} \times 1068.1\\&\approx 1.29 \times 10^{-6} \, \text{m}^2/\text{s}\end{align*}$
    • 然后计算分子扩散系数 $D_m$，根据经验公式 $D_m = 0.001858 \frac{T^{3/2}}{P \sqrt{M_1 M_2}}$，其中 $P$ 为压力，$M_1$ 和 $M_2$ 分别为两种气体的摩尔质量。
    • 已知 $P = 1 \, \text{atm} = 101325 \, \text{Pa}$，$T = 873 \, \text{K}$，$M可得 D_m$ 时，可近似认为是 $\text{CH}_4$ 在自身中的扩散，$M_1 = M_2 = 16 \times 10^{-3} \, \text{kg/mol}$，将其代入公式可得：
      $\begin{align*}D_m&= 0.001858 \frac{873^{3/2}}{101325 \sqrt{(16 \times 10^{-3})^2}}\\&= 0.001858 \frac{873^{3/2}}{101325 \times 16 \times 10^{-3}}\\&\approx 0.001858 \frac{76342.4}{1621.2}\\&\approx 0.001858 \times 47.1\\&\approx 1.53 \times 10^{-7} \, \text{m}^2/\text{s}\end{align*}$
    • 最后计算综合扩散系数 $D$，公式为 $D = \frac{D_m D_K}{D_m + D_K}$。
    • 已知 $D_m \approx 1.53 \times 10^{-7} \, \text{m}^2/\text{s}$，$D_K \approx 1.29 \times 10^{-6} \, \text{m}^2/\text{s}$，将其代入公式可得：
      $\begin{align*}D&= \frac{1.53 \times 10^{-7} \times 1.29 \times 10^{-6}}{1.53 \times 10^{-7} + 1.29 \times 10^{-6}}\\&= \frac{1.9737 \times 10^{-13}}{1.443 \times 10^{-6}}\\&\approx 1.4 \times 10^{-7} \, \text{m}^2/\text{s}\end{align*}$ ]