在一恒容反应器中进行下列液相反应:[ A + B arrow R ][ r_R = 1.6 c_A ][ 2A arrow D ][ r_D = 8 c_A^2 ]式中 r_R 、 r_D 分别表示产物 R 及 D 的生成速率，其单位均为 kmol/(m^3 cdot h) ，反应用的原料为 A 与 B 的混合物，其中 A 的浓度为 2 kmol/m^3 ，试计算 A 的转化率达 90% 时所需要的反应时间。

本题考查化学反应动力学中反应时间的计算，解题的关键在于先根据反应速率方程方程求出反应物A的消耗速率方程，然后通过分离变量法对该方程进行积分，最后代入初始浓度和目标浓度求解反应时间。

1. 确定A的消耗速率方程：
   • 对于反应$A + B \rightarrow R$，A的消耗速率为$1$摩尔，其消耗速率为$r_{A1}=r_R = 1.6 c_A$。
   • 对于反应$2A \rightarrow D$，A的消耗为$2$摩尔，其消耗速率为$r_{A2}=2r_D = 2\times8 c_A^2 = 16 c_A^2$。 - 那么A的总消耗速率$-\frac{dc_A}{dt}$等于两个反应中A的消耗速率之和，即$-\frac{"zh从句，当主句是一般将来时，从句用一般现在时表示将来\(\frac{dc_A}{dt}=r_{A1}+r_{A2}=1.6 c_A + 16 c_A^2 = 1.6 c_A (1 + 10 c_A)$。2. 分离变量并积分：
   • 对$-\frac{dc_A}{dt}=1.6 c_A (1 + 10 c_A)$进行分离变量，得到$\frac{dc_A}{c_A (1 + 10 c_A)}=-1.6 dt$。 - 对等式两边进行积分，积分区间为从初始时刻$t = 0$，c_A = c_A(0))到时刻$t$，$c_A = c_A(t)$，即$\int_{c_A(0)}^{c_A(t)}\frac{dc_A}{c_A (1 + 10 c_A)}=-\int_{0}^{t}1.6 dt$。 - 对$\frac{1}{c_A (1 + 10 c_A)}$进行部分分式分解，设$\frac{1}{c_A (1 + 10 c_A)}=\frac{A}{c_A}+\frac{B}{1 + 10 c_A}$，通分可得$1 = A(1 + 10 c_A)+Bc_A$。令$c_A = 0$，得$A = 1$；令$c_A = -\frac{1}{10}$，得$B = -10$。所以$\frac{1}{c_A (1 + 10 c_A)}=\frac{1}{c_A}-\frac{10}{1 + 10 c_A}$。 - 则$\int_{c_A(0)}^{c_A(t)}(\frac{1}{c_A}-\frac{10}{1 + 10 c_A})dc_A=-\int0}^{t}1.6 dt$。 - 分别积分可得$[\ln c_A - \ln(1 + 10 c_A)]_{c_A(0)}^{c_A(t)}=-1.6 t$。 - 进一步化简为$\ln \left( \frac{c_A(t) (1 + 10 c_A(0))}{c_A(0) (1 + 10 c_A(t))} \right) = -1.6 t$。3. 代入数据计算反应时间：
   • 已知$c_A(0) = 2 kmol/m^3$，A的转化率达$90\%$时，$c_A(t)=c_A(0)(1 - 0.9)=2\times(1 - 0.9)=0.2 kmol/m^3$。 - 将$c_A(0) = 2$，$c_A(t) = 0.2$代入$\ln \left( \frac{c_A(t) (1 + 10 c_A(0))}{c_A(0) (1 + 10 c_A(t))} \right) = -1.6 t$，得到$\ln \left( \frac{0.2 \times (1 + 10\times2)}{2 \times (1 + 10\times0.2)} \right) = \ln \left( \frac{0.2 \times 21}{2 \times 3} \cdot 2} \right) = \ln (0.7) = -0.3567 = -1.6 t$。 - 解得$t = \frac{0.3567}{1.6} \approx 0.223 h\ h$。