题目
例 10-6 某点的应力状态如图 10-16a 所示,图中应力的单位为MPa。试求该点的主-|||-应力及最大切应力。-|||-20 ↑y-|||-20-|||-40-|||-60-|||-40 σ''=60-|||-⊙ x-|||-(a) (b)-|||-(单位:MPa)-|||-图 10-16
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定已知的主应力
根据题目描述，已知一个主应力 ${\sigma }^{m}=60\quad MPa$ ，因此单元体上平行于σ"的截面上的应力值与σ"无关。这意味着我们可以将所给定的应力状态视为如图 10-16b 所示的平面应力状态。
步骤 2：计算平面应力状态下的主应力
应用式 (10-5a,b) ，并代入 $\sigma x=0$ ，${\sigma }_{y}=-20MPa$ ，${I}_{x}=40M{P}_{a}$ ，可求得主应力 ${\sigma }_{1}$ 和 ${\sigma }_{2}$ 。
${\sigma }_{1,2}=\dfrac {0+(-20)}{2}\pm \sqrt {{(\dfrac {0-(-20)}{2})}^{2}+{(40)}^{2}}=$ 31.23MPa -51.23MPa
步骤 3：确定三个主应力
根据主应力的排列顺序，该点的三个主应力为 ${\sigma }_{1}=\sigma ''=60MPa$ ，${\sigma }_{2}=\sigma '=31.23MPa$ ，${\sigma }_{3}=\sigma ''=-51.23MPa$ 。
步骤 4：计算最大切应力
根据式 (10-10) ，最大切应力 ${T}_{max}$ 可以通过主应力差的一半来计算。
${T}_{max}=\dfrac {{\sigma }_{1}-{\sigma }_{3}}{2}=\dfrac {60-(-51.23)}{2}=55.6MPa$
根据题目描述，已知一个主应力 ${\sigma }^{m}=60\quad MPa$ ，因此单元体上平行于σ"的截面上的应力值与σ"无关。这意味着我们可以将所给定的应力状态视为如图 10-16b 所示的平面应力状态。
步骤 2：计算平面应力状态下的主应力
应用式 (10-5a,b) ，并代入 $\sigma x=0$ ，${\sigma }_{y}=-20MPa$ ，${I}_{x}=40M{P}_{a}$ ，可求得主应力 ${\sigma }_{1}$ 和 ${\sigma }_{2}$ 。
${\sigma }_{1,2}=\dfrac {0+(-20)}{2}\pm \sqrt {{(\dfrac {0-(-20)}{2})}^{2}+{(40)}^{2}}=$ 31.23MPa -51.23MPa
步骤 3：确定三个主应力
根据主应力的排列顺序，该点的三个主应力为 ${\sigma }_{1}=\sigma ''=60MPa$ ，${\sigma }_{2}=\sigma '=31.23MPa$ ，${\sigma }_{3}=\sigma ''=-51.23MPa$ 。
步骤 4：计算最大切应力
根据式 (10-10) ，最大切应力 ${T}_{max}$ 可以通过主应力差的一半来计算。
${T}_{max}=\dfrac {{\sigma }_{1}-{\sigma }_{3}}{2}=\dfrac {60-(-51.23)}{2}=55.6MPa$