材料力学习题答案2 在图示各单元体中,试用解析法和图解法求斜截面ab上的应力。应力的单位为MPa。

解 (a) 如受力图(a)所示

,,,

(1) 解析法计算(注:P217)

(2) 图解法

作坐标系, 取比例1cm=70MPa, 由、定Dx 点, 、定Dy点, 连Dx 、Dy , 交τ轴于C点, 以C点为圆心, CDx 为半径作应力圆如图(a1)所示。由CDx起始, 逆时针旋转2= 60°,得点。从图中可量得点的坐标, 便是和数值。

已知应力状态如图所示,图中应力单位皆为MPa。试用解析法及图解法求:

(1) 主应力大小,主平面位置;

(2) 在单元体上绘出主平面位置及主应力方向;

(3) 最大切应力。

解 (a) 受力如图(a)所示

,,

(1) 解析法 (数P218)

按照主应力的记号规定

,,

,

(2) 图解法

作应力圆如图(a1)所示。应力圆与轴的两个交点对应着两个主应力、 的数值。由顺时针旋转,可确定主平面的方位。应力圆的半径即为最大切应力的数值。

主应力单元体如图(a2)所示。

(c) 受力如图(c)所示

,,

(1) 解析法

按照主应力的记号规定

,,

,

(2) 图解法

作应力圆如图(c1)所示。应力圆与轴的两个交点对应着两个主应力、 的数值。由顺时针旋转, 可确定主平面的方位。的长度即为最大切应力的数值。主应力单元体如题图(c2)所示。

对题中的各应力状态,写出四个常用强度理论及莫尔强度理论的相当应力。设,。

解(a) ,,

(书:247)

(书:P250,讲课没有讲)

(c) ,,

车轮与钢轨接触点处的主应力为-800MPa、-900MPa、-1100MPa。若[σ] = 300MPa,试对接触点作强度校核。

解 ,,

用第三和第四强度理论校核, 相当应力等于或小于许用应力,所以安全。

图(a)示起重架的最大起吊重量( 包括行走小车等)为W=40kN,横梁AC由两根槽钢组成, 材料为Q235钢,许用应力[σ]=120MPa。试校核横梁的强度。

解 梁AC受压弯组合作用。当载荷W移至AC中点处时梁内弯矩最大,所以AC中点处横截面为危险截面。危险点在梁横截面的顶边上。

查附录三型钢表(P406),槽钢的A=29.30cm,Iy=1370cm W=152cm。

根据静力学平衡条件, AC梁的约束反力为:

, ①

,

由式①和②可得:

,

危险截面上的内力分量为:

危险点的最大应力

(压)

最大应力恰好等于许用应力, 故可安全工作。

图(a)示钻床的立柱由铸铁制成,F=15kN,许用拉应力=35 MPa。试确定立柱所需直径d。

解 立柱横截面上的内力分量如图(b)所示,F=F=15kN,M=0.4F=6kN·m,这是一个拉弯组合变形问题,横截面上的最大应力

根据强度条件,有

由上式可求得立柱的直径为:。

手摇绞车如图(a)所示,轴的直径d=30mm,材料为Q235钢,=80MPa。试按第三强度理论,求绞车的最大起吊重量P。

解 圆轴受力图、扭矩图、弯矩图如图(b)所示。这是一个弯扭组合变形问题, 由内力图可以判定,C处为危险截面。其上的弯矩和扭矩分别为

按第三强度理论: (书P273)

将、值代入上式得

绞车最大起吊重量为P=788N。

电动机的功率为9kW,转速为715r/min,带轮直径D=250mm,主轴外伸部分长度,主轴直径d=40mm。若[σ]=60MPa,试用第三强度理论校核轴的强度。

解 这是一个弯扭组合变形问题。显然危险截面在主轴根部。该处的内力分量分别为:

扭矩:

根据平衡条件,,得

弯矩:

应用第三强度理论

最大工作应力小于许用应力,满足强度要求,故安全。

图(a)为操纵装置水平杆,截面为空心圆形,内径d=24mm,外径D=30mm。材料为Q235钢,[σ]=100MPa。控制片受力F=600 N。试用第三强度理论校核杆的强度。

解 这是一个弯扭组合变形问题。空心水平圆杆的受力图如图(b)所示。利用平衡条件可以求出杆上的反力,并作内力图(b)。从内力图可以判定危险截面在B处,其上的扭矩和弯矩为:

应用第三强度理论

最大工作应力小于许用应力,满足强度要求,可以安全工作。

图示蒸汽机的活塞杆AB,所受的压力F=120kN,=180cm,横截面为圆形,直径d=7.5cm。材料为Q255钢,E=210GPa,。规定= 8,试校核活塞的稳定性。

解 活塞杆的回转半径

对于两端铰支杆,μ=1,所以杆的柔度

因,故可用欧拉公式计算活塞杆的临界载荷,即

工作安全因数:

工作安全因数大于规定的安全因数,故安全。

无缝钢管厂的穿孔顶杆如图所示。杆端承受压力。杆长,横截面直径d=15cm。材料为低合金钢,,E = 210GPa。两端可简化为铰支座,规定的稳定安全因数为。试求顶杆的许可载荷。

解 (书P301)

顶杆的柔度为:

因,属于大柔度杆,故可用欧拉公式计算临界载荷,即

顶杆的许可载荷:

某轧钢车间使用的螺旋推钢机的示意图如图所示。推杆由丝杆通过螺母来带动。已知推杆横截面的直径d=13cm,材料为Q255钢,E=210GPa,。当推杆全部推出时,前端可能有微小的侧移,故简化为一端固定、一端自由的压杆。这时推杆的伸出长度为最大值,。取稳定安全因数。试校核压杆的稳定性。

解 一端固定、另一端自由的压杆的长度系数μ=2。推杆的柔度为:

因,属于大柔度杆,故用欧拉公式计算临界载荷,即

推杆的工作安全因数,因推杆的工作安全因数大于规定的稳定安全因数,所以可以安全工作。

某厂自制的简易起重机如(a)图所示,其压杆BD为20号槽钢,材料为Q235 钢。材料的E= 200GPa,,a=304MPa,b= MPa,。起重机的最大起重量是W=40kN。若规定的稳定安全因数为,试校核BD杆的稳定性。

解 应用平衡条件图(b)

,

查附录三型钢表得:,,,,。

由计算出Q235钢的

压杆BD的柔度( 设BD杆绕y轴弯曲失稳)

因均小于大于,所以应当用经验公式计算临界载荷,即

压杆的工作安全因数为:

BD压杆的工作安全因数大于规定的稳定安全因数,故可以安全工作。

长为、横截面面积为A的杆以加速度a向上提升。若材料单位体积的质量为,试求杆内的最大应力。

解 应用截面法,由下段的平衡条件可得任一截面的轴力

解上式得:

任一截面上的应力

当时,杆内应力最大

飞轮的最大圆周速度v=25m/s,材料的单位体积的质量是×10kg/ m ,若不计轮辐的影响,试求轮缘内的最大正应力。

解 若不计轮辐的影响,飞轮可视为均质的薄圆环。设其截面积为A,密度为,平均直径为D,以匀角速度ω旋转,因为是薄圆环,所以可近似地认为环内各点的向心加速度相同,等于,于是沿轴线均匀分布的惯性离心力集度:

如图(b)所示。

为了求环的内力,设想把环用过直径的平面截开,研究其一半的平衡,如图(c)所示,根据平衡条件,有

,

轮缘横截面的正应力

火车轮轴受力情况如图(a)所示。a=500mm,=1435mm,轮轴中段直径d=15cm。若F=50kN,试求轮轴中段截面边缘上任一点的最大应力,最小应力,循环特征r,并作出σ-t曲线。

解 轮轴中段截面上的弯矩为常数,即

最大应力为:

最小应力为:

循环特征:

作曲线图如图( b)所示。

货车轮轴两端载荷F=110kN,材料为铬镍合金钢,,。规定安全因数。试校核Ⅰ-Ⅰ和Ⅱ-Ⅱ截面的强度。

解 由平衡条件求得

两截面上任意一点为对称循环。

Ⅰ-Ⅰ截面:

弯矩:

最大弯曲正应力:

由图(b),D/d =133/108=,R/d=20/108=。

查附录四图3得有效应力集中因数

查附录四表1得尺寸因数

查附录四表2并用直线插入法得表面质量因数:

其工作安全因数为

Ⅱ-Ⅱ截面:

弯矩:

最大弯曲正应力

查附录四图1,当D/d=146/133=,R/d=40/133=时,查附录四图3得有效应力集中因数

查附录四表1得尺寸因数

查附录四表2并用直线插入法得表面质量因数

其工作安全因数为

因为Ⅰ-Ⅰ和Ⅱ-Ⅱ截面的工作安全因数均大于规定的安全因数,故安全。

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