题目
稳态响应中横摆角速度增益达到最大值时的车速称为特征车速Uch。证明：特征车速Uch=√1/K，且在特征车速时的横摆角速度增益，为具有相等轴距L中性转向汽车横摆角速度增益的一半。
稳态响应中横摆角速度增益达到最大值时的车速称为特征车速Uch。证明：特征车速Uch=√1/K，且在特征车速时的横摆角速度增益，为具有相等轴距L中性转向汽车横摆角速度增益的一半。
题目解答
答案
特征车速指汽车稳态横摆角速度增益达到最大值时的车速，汽车稳态横摆角速度增益为：
解析
步骤 1：定义横摆角速度增益
横摆角速度增益定义为汽车稳态响应中横摆角速度与转向盘转角的比值，即 $\dfrac{{\omega}_{r}}{\delta}$。在稳态响应中，横摆角速度增益可以表示为：$\dfrac{{\omega}_{r}}{\delta}=\dfrac{u/L}{1+R{u}^{2}}$，其中 $u$ 是车速，$L$ 是轴距，$R$ 是横摆角速度增益系数。
步骤 2：求特征车速
为了求特征车速，我们需要找到横摆角速度增益达到最大值时的车速。根据给定的横摆角速度增益公式，我们可以通过求导数并令其等于零来找到最大值点。对横摆角速度增益公式求导，得到：$\dfrac{d}{du}\left(\dfrac{u/L}{1+R{u}^{2}}\right)=\dfrac{1}{L}\cdot\dfrac{1-3R{u}^{2}}{(1+R{u}^{2})^{2}}$。令导数等于零，得到：$1-3R{u}^{2}=0$，解得：$u=\sqrt{\dfrac{1}{3R}}$。根据题目中的定义，$K=3R$，因此特征车速 $U_{ch}=\sqrt{\dfrac{1}{K}}$。
步骤 3：计算特征车速时的横摆角速度增益
将特征车速 $U_{ch}=\sqrt{\dfrac{1}{K}}$ 代入横摆角速度增益公式，得到：$\dfrac{{\omega}_{r}}{\delta}=\dfrac{u/L}{1+R{u}^{2}}=\dfrac{\sqrt{\dfrac{1}{K}}/L}{1+R\cdot\dfrac{1}{K}}=\dfrac{\sqrt{\dfrac{1}{K}}/L}{1+\dfrac{1}{3}}=\dfrac{\sqrt{\dfrac{1}{K}}/L}{\dfrac{4}{3}}=\dfrac{3\sqrt{\dfrac{1}{K}}}{4L}$。
步骤 4：比较特征车速时的横摆角速度增益与中性转向汽车的横摆角速度增益
对于具有相等轴距L中性转向汽车，横摆角速度增益为 $\dfrac{u}{I}$。将特征车速 $U_{ch}=\sqrt{\dfrac{1}{K}}$ 代入，得到：$\dfrac{u}{I}=\dfrac{\sqrt{\dfrac{1}{K}}}{I}$。因此，特征车速时的横摆角速度增益为具有相等轴距L中性转向汽车横摆角速度增益的一半，即 $\dfrac{3\sqrt{\dfrac{1}{K}}}{4L}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{\dfrac{1}{K}}}{I}$。
横摆角速度增益定义为汽车稳态响应中横摆角速度与转向盘转角的比值，即 $\dfrac{{\omega}_{r}}{\delta}$。在稳态响应中，横摆角速度增益可以表示为：$\dfrac{{\omega}_{r}}{\delta}=\dfrac{u/L}{1+R{u}^{2}}$，其中 $u$ 是车速，$L$ 是轴距，$R$ 是横摆角速度增益系数。
步骤 2：求特征车速
为了求特征车速，我们需要找到横摆角速度增益达到最大值时的车速。根据给定的横摆角速度增益公式，我们可以通过求导数并令其等于零来找到最大值点。对横摆角速度增益公式求导，得到：$\dfrac{d}{du}\left(\dfrac{u/L}{1+R{u}^{2}}\right)=\dfrac{1}{L}\cdot\dfrac{1-3R{u}^{2}}{(1+R{u}^{2})^{2}}$。令导数等于零，得到：$1-3R{u}^{2}=0$，解得：$u=\sqrt{\dfrac{1}{3R}}$。根据题目中的定义，$K=3R$，因此特征车速 $U_{ch}=\sqrt{\dfrac{1}{K}}$。
步骤 3：计算特征车速时的横摆角速度增益
将特征车速 $U_{ch}=\sqrt{\dfrac{1}{K}}$ 代入横摆角速度增益公式，得到：$\dfrac{{\omega}_{r}}{\delta}=\dfrac{u/L}{1+R{u}^{2}}=\dfrac{\sqrt{\dfrac{1}{K}}/L}{1+R\cdot\dfrac{1}{K}}=\dfrac{\sqrt{\dfrac{1}{K}}/L}{1+\dfrac{1}{3}}=\dfrac{\sqrt{\dfrac{1}{K}}/L}{\dfrac{4}{3}}=\dfrac{3\sqrt{\dfrac{1}{K}}}{4L}$。
步骤 4：比较特征车速时的横摆角速度增益与中性转向汽车的横摆角速度增益
对于具有相等轴距L中性转向汽车，横摆角速度增益为 $\dfrac{u}{I}$。将特征车速 $U_{ch}=\sqrt{\dfrac{1}{K}}$ 代入，得到：$\dfrac{u}{I}=\dfrac{\sqrt{\dfrac{1}{K}}}{I}$。因此，特征车速时的横摆角速度增益为具有相等轴距L中性转向汽车横摆角速度增益的一半，即 $\dfrac{3\sqrt{\dfrac{1}{K}}}{4L}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{\dfrac{1}{K}}}{I}$。