题目

如果基矢 boldsymbol(a), boldsymbol(b), boldsymbol(c) 构成正交晶系，试证明晶面族 (hkl) 的面间距为 d_(hkl) = (1)/(sqrt((h/a)^2 + (k/b)^2 + (l/c)^2))

如果基矢 $\boldsymbol{a}$, $\boldsymbol{b}$, $\boldsymbol{c}$ 构成正交晶系，试证明晶面族 $(hkl)$ 的面间距为
$$ d_{hkl} = \frac{1}{\sqrt{(h/a)^2 + (k/b)^2 + (l/c)^2}} $$

题目解答

答案

在正交晶系中，倒格子基矢为： \[ \mathbf{b}_1 = \frac{2\pi}{a} \hat{i}, \quad \mathbf{b}_2 = \frac{2\pi}{b} \hat{j}, \quad \mathbf{b}_3 = \frac{2\pi}{c} \hat{k} \] 晶面族（hkl）的倒格子矢量为： \[ \mathbf{K}_{hkl} = \frac{2\pi}{a} h \hat{i} + \frac{2\pi}{b} k \hat{j} + \frac{2\pi}{c} l \hat{k} \] 其模长为： \[ |\mathbf{K}_{hkl}| = 2\pi \sqrt{\left( \frac{h}{a} \right)^2 + \left( \frac{k}{b} \right)^2 + \left( \frac{l}{c} \right)^2} \] 根据 $ d_{hkl} = \frac{2\pi}{|\mathbf{K}_{hkl}|} $，可得： \[ d_{hkl} = \frac{1}{\sqrt{\left( \frac{h}{a} \right)^2 + \left( \frac{k}{b} \right)^2 + \left( \frac{l}{c} \right)^2}} \] 最终结果为： \[ d_{hkl} = \frac{1}{\sqrt{\left( \frac{h}{a} \right)^2 + \left( \frac{k}{b} \right)^2 + \left( \frac{l}{c} \right)^2}} \]

解析

本题考查正交晶系中晶面族面间距的推导，解题思路是先根据正交晶系的特点求出倒格子基矢，再得到晶面族$(hkl)$的倒格子矢量，计算其模长，最后利用面间距与倒格子矢量模长的关系得出面间距公式。

  1. 求正交晶系的倒格子基矢：
    • 对于正交晶系，基矢$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$，$\boldsymbol{c}$相互垂直，即$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}=\boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{a}=0$，且$|\boldsymbol{a}| = a$，$|\boldsymbol{b}| = b$，$|\boldsymbol{c}| = c$。
    • 倒格子基矢的定义为$\mathbf{b}_1 = 2\pi\frac{\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c}}{\boldsymbol{a}\cdot(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c})}$，$\mathbf{b}_2 = 2\pi\frac{\boldsymbol{c}\times\boldsymbol{a}}{\boldsymbol{a}\cdot(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c})}$，$\mathbf{b}_3 = 2\pi\frac{\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}}{\boldsymbol{a}\cdot(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c})}$。
    • 由于$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$，$\boldsymbol{c}$相互垂直，所以$\boldsymbol{a}\cdot(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c})=abc$。
    • 计算$\mathbf{b}_1$：$\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c}$的方向沿$\boldsymbol{a}$方向，且$|\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c}| = bc$，则$\mathbf{b}_1 = 2\pi\frac{bc\boldsymbol{a}}{abc}=\frac{2\pi}{a}\boldsymbol{a}$，若设$\boldsymbol{a}$方向为$\hat{i}$方向，则$\mathbf{b}_1 = \frac{2\pi}{a} \hat{i}$。
    • 同理可得$\mathbf{b}_2 = \frac{2\pi}{b} \hat{j}$，$\mathbf{b}_3 = \frac{2\pi}{c} \hat{k}$。
  2. 求晶面族$(hkl)$的倒格子矢量：
    • 晶面族$(hkl)$的倒格子矢量$\mathbf{K}_{hkl}=h\mathbf{b}_1 + k\mathbf{b}_2 + l\mathbf{b}_3$。
    • 将$\mathbf{b}_1 = \frac{2\pi}{a} \hat{i}$，$\mathbf{b}_2 = \frac{2\pi}{b} \hat{j}$，$\mathbf{b}_3 = \frac{2\pi}{c} \hat{k}$代入上式，可得$\mathbf{K}_{hkl} = \frac{2\pi}{a} h \hat{i} + \frac{2\pi}{b} k \hat{j} + \frac{2\pi}{c} l \hat{k}$。
  3. 计算倒格子矢量$\mathbf{K}_{hkl}$的模长：
    • 对于矢量$\mathbf{K}_{hkl} = \frac{2\pi}{a} h \hat{i} + \frac{2\pi}{b} k \hat{j} + \frac{2\pi}{c} l \hat{k}$，其模长$|\mathbf{K}_{hkl}|=\sqrt{(\frac{2\pi h}{a})^2 + (\frac{2\pi k}{b})^2 + (\frac{2\pi l}{c})^2}$。
    • 提取公因式$2\pi$，可得$|\mathbf{K}_{hkl}| = 2\pi \sqrt{\left( \frac{h}{a} \right)^2 + \left( \frac{k}{b} \right)^2 + \left( \frac{l}{c} \right)^2}$。
  4. 求晶面族$(hkl)$的面间距$d_{hkl}$：
    • 面间距$d_{hkl}$与倒格子矢量模长$|\mathbf{K}_{hkl}|$的关系为$d_{hkl} = \frac{2\pi}{|\mathbf{K}_{hkl}|}$。
    • 将$|\mathbf{K}_{hkl}| = 2\pi \sqrt{\left( \frac{h}{a} \right)^2 + \left( \frac{k}{b} \right)^2 + \left( \frac{l}{c} \right)^2}$代入上式，可得$d_{hkl} = \frac{1}{\sqrt{\left( \frac{h}{a} \right)^2 + \left( \frac{k}{b} \right)^2 + \left( \frac{l}{c} \right)^2}}$。