某二元系统精馏塔在泡点下进料,全塔共有三块理论板及一个再沸器,塔顶采用全凝器,进料位置在第二块理论板上,塔顶产品组成XD=0.9(摩尔分率),二元系统相对挥发度=4,进料组成为xF=0.5(摩尔分率),回流比R=1时,求:⑴离开第一块板的液相组成x1为多少?⑵进入第一块板的气相组成y2为多少?⑶两操作线交点d的气液组成?

本题主要考察二元系统精馏塔的相关计算，涉及理论板、操作线方程、相平衡方程以及进料位置对气液相组成的影响，具体思路如下：

关键公式回顾

1. 相平衡平衡方程：$y = \frac{\alpha x}{1 + (\alpha - 1)x}$（$\alpha=4\alpha=4$）
2. 精馏段操作线方程：$y = \frac{R}{R+1}x + \cdot + \frac{x_D}{R+1}$（全凝器，$y_1=x_D$）
3. 提馏段操作线方程：$y = \frac{L'}{V'}x - \frac{Wxx_W}{V'} \cdot V'}$（泡点进料时$L'=L+F$，$V'=V$，\(L/V)=R/(R+1)，(L'/V')=(R+1)） 4. **进料线（q线）方程）**：泡点进料$q=1$，$q$线为竖线$x=xF$

题目条件

• 理论板数：3块理论板+再沸器（共4个理论级，编号：塔顶第1→2→3→再沸器）
• 进料位置：第2块板（精馏段：1~2块板，提馏段：3~再沸器）
• $x_D=0.9$，$\alpha=4$，$xF=0.5$，$R=1$

⑴ 求离开第一块板的液相组成$x_1\text{1}$

• 塔顶全凝器：$y_1=x_D=0.9$（离开第一块板的气相$y_1$等于塔顶产品组成）
• 第一块板为理论板，气液平衡：$y_1=\frac{\alpha x1}{1+(\alpha-1)x1}$
• 代入$y1=0.9$，$\alpha=4$：
  $0.9=\frac{4x_1}{1+3x_1} \implies 0.9(1+3x_1)=4x_1 \implies 0.9+2.7x_1=4x_1 \implies x_1=\frac{0.9}{4-2.7}=\frac{0.9}{1.3}\approx0.692$

⑵ 求进入第一块板的气相组成$y_2$

• 进入第一块板的气相$y_2$等于离开第二块板的气相（理论板间气相平衡）
• 精馏段操作线：$R=1$，方程为$y=\frac{1}{2}x+\frac{0.9}{2}=\frac{x+0.9}{2}$
• 离开第二块板的液相$x_2$：第二块板是进料板，液相$x2=xF=0.5$（泡点进料，进料与板上一块板液相混合？不，理论板：进入第二块板的液相$x2$与气相$y2$平衡，离开时$y2$与$x2$平衡？不，精馏段操作线：$y_{n+}= \cdot 1}= \frac{R}{R+1}x_n + \frac{x_D}{R+1}$，对第1块板：$y_1=\frac{1}{2}x_2+\frac{0.9}{2}$，但$y_1=x_D=0.9$，故$x2=2×0.9-0.9=0.9$？不，进料位置在第2块：精馏段操作线连接$(x_D,y_D)$和$q$线交点$d(xF,yd)$，提馏段连$d$和$(x_W,y_W)$
• 正确：进入第一块板（上层）：$y1=x_D=0.9$，由相平衡得$x1=0.69/(4-3×0.9)=0.692$
• 精馏段操作线：$y_{n+1}=\frac{R}{R+1}x_n+\frac{x_D}{R+1}$，对$n=1$（离开第1板的液相$x1$，进入1板的气相$y2$）：$y2=\frac{1}{2}x1+\frac{0.9}{2}$
• 代入$x1=0.692\不，$：不，$n$是板号，精馏段：板1（上）→板2（进料板），气相流动：$y2$（进入板1）来自板2的气相，液相：$x1$（离开板1）去板1的液相，$y1$（离开板1）=x_D，故$y1$与$x1$平衡：$x1=y1/[\alpha-(α-1)y1]=0.9/[4-3×0.9]=0.692$
• 精馏段操作线：$y_{n+1}=\frac{R}{R+1}x_n}+\frac{x_D}{R+1}$，$n=1$时：$y2$（进入板1的气相）=$\frac{1}{2}x1+\frac{0.9}{2}$？不，$n$是下降：气相$y_{n+1}$来自下一块板，$x_n$是本板液相，对板1：$y1$（顶）=x_D，$x1$（板1液）与$y1$平衡，$y2$（进入板1的气）=$\frac{R}{R+1}x1+\frac{x_D}{R+1}$？不，操作线是$y_{上一块}=f(x_本块)$，即离开下一块的气相=进入上一块的液相决定的气相
• 正确：$R=1$，精馏段操作线：$y=\frac{1}{2}x+\frac{0.9}{2}$，进料在板2，故板2的液相$x2$与进料$xF=0.5$？不，理论板：板2（进料板）中，进入的气相$y2$与液相$x2$（进料）接触，离开的气相$y2$与液相$x2$平衡吗？不，进料是在板2处加入，故板2的液相是进料$xF$与回流液混合？不，$L/V)=R/(R+1)=0.5，(L'/V')=(L+F)/V=(R+1)F/V？不，泡点进料\(q=1$，$L'=L+F$，$V'=V=(R$，故$L'/V'=(L+F)/V=(L/V)+F/V$，但物料衡算：$R+1)x_D=Rx_D+(F+W)xF？不，\(F=D+W$，$Dx_Dx_D+Wx_W=Fx_F$
• 求$y2$：进入板1的气相是离开板2的气相，板是理论板，故$y2$与$x2$平衡？不，操作线：精馏段$板1~2)：\(y_{n+1}=\frac{R}{R+1}x_n+\frac{x_D}{R+1}$，$n=1$时，$y2$（离开板2的气相）=$\frac{1}{2}x1+\frac{0.9}{2}$，而$x1$是离开板1的液相，由相\相平衡方程：$x1=\frac{y1}{\alpha-(\alpha-1)y1}=\frac{0.9}{4-3×0.9}=0.692$，则$y2=\frac{1}{2}×0.692+0.9/2=0.346+0.45=0.796$

⑶ 两操作线交点$d$的气液组成

• $q$线：泡点进料$x=xF=0.5$，精馏段操作线：$y=\frac{R}{R+1}x+\frac{x_D}{R+1}=\frac\\)，交点\(d(xF,yd)$，代入$x=0.5$得$yd=\frac{1}{2×0.5+0.9/2=0.25+0.45=0.7$，故$d$的气液组成均为$x=0.5$，$y=0.7$