第三章 流体动力学基础3-1.检验不可压缩流体运动是否存在?[解](1)不可压缩流体连续方程(2)方程左面项;;(2)方程左面=方程右面,符合不可压缩流体连续方程,故运动存在。3-2.某速度场可表示为,试求:(1)加速度;(2)流线;(3)t= 0时通过x=-1,y=1点的流线;(4)该速度场是否满足不可压缩流体的连续方程?[解] (1) 写成矢量即 (2)二维流动,由,积分得流线:即 (3),代入得流线中常数流线方程: ,该流线为二次曲线(4)不可压缩流体连续方程:已知:,故方程满足。3.3.已知流速场,试问:(1)点(1,1,2)的加速度是多少?(2)是几元流动?(3)是恒定流还是非恒定流?(4)是均匀流还是非均匀流?[解]代入(1,1,2)同理:因此 (1)点(1,1,2)处的加速度是(2)运动要素是三个坐标的函数,属于三元流动(3),属于恒定流动(4)由于迁移加速度不等于0,属于非均匀流。3-4.以平均速度v =0.15 m/s 流入直径为D =2cm 的排孔管中的液体,全部经8个直径d=1mm的排孔流出,假定每孔初六速度以次降低2%,试求第一孔与第八孔的出流速度各为多少?[解] 由题意;;······;式中Sn为括号中的等比级数的n项和。由于首项a1=1,公比q=0.98,项数n=8。于是3-5.在如图所示的管流中,过流断面上各点流速按抛物线方程:对称分布,式中管道半径r=3cm,管轴上最大流速umax=0.15m/s,试求总流量Q与断面平均流速v。[解] 总流量:断面平均流速:3.6.利用皮托管原理测量输水管中的流量如图所示。已知输水管直径d=20.mm,测得水银差压计读书hp=60mm,若此时断面平均流速v=0.84umax,这里umax为皮托管前管轴上未受扰动水流的流速,问输水管中的流量Q为多大?(3.85m/s)[解] 3-7.图示管路由两根不同直径的管子与一渐变连接管组成。已知dA=200mm,dB=400mm,A点相对压强pA=68.6kPa,B点相对压强pB=39.2kPa,B点的断面平均流速vB=1./s,A、B两点高差△z=1.2m。试判断流动方向,并计算两断面间的水头损失hw。[解] 假定流动方向为A→B,则根据伯努利方程其中,取故假定正确。3-8.有一渐变输水管段,与水平面的倾角为45º,如图所示。已知管径d1=200mm,d2=100mm,两断面的间距l=2m。若1-1断面处的流速v1=2m/s,水银差压计读数hp=20cm,试判别流动方向,并计算两断面间的水头损失hw和压强差p1-p2。[解] 假定流动方向为1→2,则根据伯努利方程其中,取故假定不正确,流动方向为2→1。由 得 3-9.试证明变截面管道中的连续性微分方程为,这里s为沿程坐标。[证明] 取一微段ds,单位时间沿s方向流进、流出控制体的流体质量差△ms为因密度变化引起质量差为由于 3-10.为了测量石油管道的流量,安装文丘里流量计,管道直径d1=200mm,流量计喉管直径d2=100mm,石油密度ρ=850kg/m3,流量计流量系数μ=0.95。现测得水银压差计读数hp=150mm。问此时管中流量Q多大?[解] 根据文丘里流量计公式得3-1..离心式通风机用集流器A从大气中吸入空气。直径d=200mm处,接一根细玻璃管,管的下端插入水槽中。已知管中的水上升H=150mm,求每秒钟吸入的空气量Q。空气的密度ρ为1.29kg/m3。[解] 3-12.已知图示水平管路中的流量qV=2.5L/s,直径d1=50mm,d2=25mm,,压力表读数为9807Pa,若水头损失忽略不计,试求连接于该管收缩断面上的水管可将水从容器内吸上的高度h。[解]3.13.水平方向射流,流量Q=36./s,流速v=30m/s,受垂直于射流轴线方向的平板的阻挡,截去流量Q1=12 L/s,并引起射流其余部分偏转,不计射流在平板上的阻力,试求射流的偏转角及对平板的作用力。(30°;456.6kN)[解] 取射流分成三股的地方为控制体,取x轴向右为正向,取y轴向上为正向,列水平即x方向的动量方程,可得:y方向的动量方程:不计重力影响的伯努利方程:控制体的过流截面的压强都等于当地大气压pa,因此,v=v1=v23.14.如图(俯视图)所示,水自喷嘴射向一与其交角成60º的光滑平板。若喷嘴出口直径d=25mm,喷射流量Q=33.4L/s,,试求射流沿平板的分流流量Q1、Q2以及射流对平板的作用力F。假定水头损失可忽略不计。[解] v=v1=v2x方向的动量方程:y方向的动量方程:3-1.br>5.图示嵌入支座内的一段输水管,其直径从d1=1500mm变化到d2=1000mm。若管道通过流量qV=1.8m3/s时,支座前截面形心处的相对压强为392kPa,试求渐变段支座所受的轴向力F。不计水头损失。[解] 由连续性方程:伯努利方程:动量方程:3-16.在水平放置的输水管道中,有一个转角的变直径弯头如图所示,已知上游管道直径,下游管道直径,流量m3/s,压强,求水流对这段弯头的作用力,不计损失。[解] (1)用连续性方程计算和m/s; m/s(2)用能量方程式计算m;m kN/m2(3)将流段1-2做为隔离体取出,建立图示坐标系,弯管对流体的作用力的分力为,列出两个坐标方向的动量方程式,得 将本题中的数据代入:=32.27kN=7.95 kN3..23kN水流对弯管的作用力大小与相等,方向与F相反。3-17.带胸墙的闸孔泄流如图所示。已知孔宽B=3m,孔高h=2m,闸前水深H=4.5m,泄流量qV=45m3/s,闸前水平,试求水流作用在闸孔胸墙上的水平推力F,并与按静压分布计算的结果进行比较。[解] 由连续性方程:动量方程:按静压强分布计算3-18.如图所示,在河道上修筑一大坝。已知坝址河段断面近似为矩形,单宽流量qV=14m3/s,上游水深h1=5m,试验求下游水深h2及水流作用在单宽坝上的水平力F。假定摩擦阻力与水头损失可忽略不计。[解] 由连续性方程:由伯努利方程:由动量方程:4-2 用式(4-3)证明压强差△p、管径d、重力加速度g三个物理量是互相独立的。

解: = = =

将 、 、 的量纲幂指数代入幂指数行列式得

= -2 0

因为量纲幂指数行列式不为零,故 、 、 三者独立。

4-4 用量纲分析法,证明离心力公式为F= kWv2 / r。式中,F为离心力;M为作圆周运动物体的质量; 为该物体的速度;d为半径;k为由实验确定的常数。

解:设

据量纲一致性原则求指数 、 、 :

M: 1 = L : 1 = T: -2 = -

解得 = 1 = 2 = -1 故

4-6 有压管道流动的管壁面切应力 ,与流动速度 、管径D、动力粘度 和流体密度 有关,试用量纲分析法推导切应力 的表达式。

解:[解] 由已知 选择 为基本量,m=3,n=5,则组成n-m=2个π项

将π数方程写成量纲形式

解上述三元一次方程组,得

解上述三元一次方程组,得

代入 后,可表达成

即

4-7 一直径为 d、密度为 的固体颗粒,在密度为 、动力粘度为 的流体中静止自由沉降,其沉降速度 ,其中 为重力加速度, - 为颗粒与流体密度之差。试用量纲分析法,证明固体颗粒沉降速度由下式表示:

解:选 、 、 为基本量,故可组成3个 数,即

其中,

求解各 数,

即

对于 ,

即

对于 ,

即

故 =0 化简整理,解出

又 与 成正比,将 提出,则

4-8 设螺旋浆推进器的牵引力 取决于它的直径D、前进速度 、流体密度 、粘度 和螺旋浆转速度 。证明牵引力可用下式表示:

解:由题意知,

选 为基本量,故可组成3个 数,即

其中,

即

对于

即

对于

即

故

就F解出得

4-10 溢水堰模型设计比例 =20,当在模型上测得流量为 时,水流对堰体的推力为 ,求实际流量和推力。

解:堰坎溢流受重力控制,由弗劳德准则,有 ,

由 = =

而 所以,

即

4-13 将高 ,最大速度 的汽车,用模型在风洞中实验(如图所示)以确定空气阻力。风洞中最大吹风速度为45 。

(1)为了保证粘性相似,模型尺寸应为多大?

(2)在最大吹风速度时,模型所受到的阻力为 求汽车在最大运动速度时所受的空气阻力(假设空气对原型、模型的物理特性一致)。

解:(1)因原型与模型介质相同,即

故由 准则有 所以,

(2) ,又 ,所以 即

4-14 某一飞行物以36 的速度在空气中作匀速直线运动,为了研究飞行物的运动阻力,用一个尺寸缩小一半的模型在温度为 ℃的水中实验,模型的运动速度应为多少?若测得模型的运动阻力为1450 N,原型受到的阻力是多少?已知空气的动力粘度 ,空气密度为 。

解:由 准则有 即

所以

(2)

5-2 有一矩形断面小排水沟,水深 ,底宽 流速 水温为15℃,试判别其流态。

解: ,

> ,属于紊流

5-3 温度为 ℃的水,以 的流量通过直径为 的水管,试判别其流态。如果保持管内液体为层流运动,流量应受怎样的限制?

解:由式(1-7)算得 ℃时,

(1)判别流态 因为

所以 ,属于紊流

(2)要使管内液体作层流运动,则需

即

5-4 有一均匀流管路,长 ,直径 ,水流的水力坡度 求管壁处和 处的切应力及水头损失。

解:因为

所以在管壁处:

处:

水头损失:

5-5 输油管管径 输送油量 ,求油管管轴上的流速 和1 长的沿程水头损失。已知 , 。

解:(1)判别流态

将油量Q换成体积流量Q

,层流

(2)由层流的性质可知

(3)

5-6 油以流量 通过直径 的细管,在 长的管段两端接水银差压计,差压计读数 ,水银的容重 ,油的容重 。求油的运动粘度。

解:列1-2断面能量方程

取 (均匀流),则

假定管中流态为层流,则有

因为

属于层流

所以,

5-7 在管内通过运动粘度 的水,实测其流量 ,长 管段上水头损失 H2O,求该圆管的内径。

解:设管中流态为层流,则 而 代入上式得

验算: , 属于层流 故假设正确。

5-9 半径 的输水管在水温 ℃下进行实验,所得数据为 , , 。

(1)求管壁处、 处、 处的切应力。

(2)如流速分布曲线在 处的速度梯度为 4.34 ,求该点的粘性切应力与紊流附加切应力。

(3)求 处的混合长度及无量纲常数 如果令 ,则 ?

解:(1)

(2)

(3) 所以 =

又

若采用 , 则

5-10 圆管直径 ,通过该管道的水的速度 ,水温 ℃。若已知 ,试求粘性底层厚度 。如果水的流速提高至 ,如何变化?如水的流速不变,管径增大到 , 又如何变化?

解: ℃时,

(1)

(2)

(3)

5-12 铸铁输水管长 =1000 ,内径 ,通过流量 ,试按公式计算水温为10℃、15℃两种情况下的 及水头损失 。又如水管水平放置,水管始末端压强降落为多少?

解:

(1)t=10℃ 时,符合舍维列夫公式条件,因 ,故由式(5-39)有

(2)t=15℃时,由式(1-7)得

由表5-1查得当量粗糙高度 则由式(5-41)得,

5-13 城市给水干管某处的水压 ,从此处引出一根水平输水管,直径 ,当量粗糙高度 = 。如果要保证通过流量 ,问能送到多远?(水温 ℃)

解: t=25℃时,

由式(5-41)得,

又

由达西公式 得

5-14 一输水管长 ,内径 管壁当量粗糙高度 ,运动粘度 ,试求当水头损失 时所通过的流量。

解:t=10℃时,由式(1-6)计算得 ,假定管中流态为紊流过渡区

因为

代入柯列勃洛克公式(5-35)得

㏒ = -2㏒( )

所以

=

检验:

因为 ,属于过渡区,故假定正确,计算有效。

5-16 混凝土排水管的水力半径 。水均匀流动1km的水头损失为1 m,粗糙系数 ,试计算管中流速。

解:水力坡度 谢才系数

代入谢才公式得

5-20流速由 变为 的突然扩大管,如分为二次扩大,中间流取何值时局部水头损失最小,此时水头损失为多少?并与一次扩大时的水头损失比较。

解:一次扩大时的局部水头损失为:

分两次扩大的总局部水头损失为:

在 、 已确定的条件下,求产生最小 的 值:

即当 时,局部水头损失最小,此时水头损失为

由此可见,分两次扩大可减小一半的局部水头损失。

5-21 水从封闭容器 沿直径 ,长度 的管道流入容器 。若容器 水面的相对压强 为2个工程大气压, ,局部阻力系数 沿程阻力系数 ,求流量 。

解:取 基准面,列 断面能量方程

所以 =

=

Q= =

5-22 自水池中引出一根具有三段不同直径的水管如图所示。已知 , , ,局部阻力系数 求管中通过的流量并绘出总水头线与测压管水头线。

解:取 基准面,则 断面方程得

其中,

5-23 图中 , ,计算水银差压计的水银面高差 ,并表示出水银面高差方向。

解:以 为基准面,据

又

= =7.65

5-25 计算图中逐渐扩大管的局部阻力系数。已知 , 工程大气压, , 工程大气压, ,流过的水量 。

解:以 断面为基准面,据

又,

=

=

又