V带传动的功率P=3kW,小带轮的转速n1=1450r/min,小带轮的直径d1=100mm,带与带轮间的当量摩擦系数f=0.50,小带轮上的包角a1=180°,预紧力F0=450N,忽略离心力的影响。试问:(1)该传动的滑动角a为多少?(2)该传动是否会出现弹性滑动现象?是否会出现打滑现象?(3)该传动能传递的最大功率[1]Pm为多少

题目考察知识

V带传动的工作能力分析，涉及滑动角计算、弹性滑动与打滑的判断、以及最大功率传递能力的计算，核心公式包括欧拉公式、传动功率公式和速度公式。

详细解题思路

(1) 滑动角α的计算

1. 计算带速v：
   带速公式为 $v = \frac{\pi d_1 n_1}{60 \times 1000}$，代入 $d_1=100\,\text{mm}=0.1\,\text{m}$、$n_1=1450\,\text{r/min}$：
   $v = \frac{\pi \times 0.1 \times 1450}{60 \times 1000} \approx 7.59\,\text{m/s}$

2. 建立紧边拉力$F_1$与松边拉力$F_2$的方程：
   传动功率公式 $P = \frac{(F_1 - F_2)v}{1000}$，代入 $P=3\,\text{kW}=3000\,\text{W}$：
   $(F_1 - F_2) \times 7.59 = 3000 \implies F_1 - F_2 \approx 395.26\,\text{N}$
   预紧力 $F_0=450\,\text{N}$，则 $F_1 + F_2 = 2F_0 = 900\,\text{N}$。

3. 联立求解$F_1$和$F_2$：
   $\begin{cases} F_1 - F_2 = 395.26 \\ F_1 + F_2 = 900 \end{cases} \implies F_1 \approx 647.63\,\text{N}, \quad F_2 \approx 252.37\,\text{N}$

4. 欧拉公式求滑动角α：
   欧拉公式 $\frac{F_1}{F_2} = e^{f\alpha}$，代入 $f=0.5$、$\frac{F_1}{F_2} \approx 2.566$：
   $2.566 = e^{0.5\alpha} \implies 0.5\alpha = \ln 2.566 \approx 0.942 \implies \alpha \approx 1.884\,\text{rad} \approx 108^\circ$

(2) 弹性滑动与打滑的判断

• 弹性滑动：是V带传动因材料弹性变形引起的固有现象，不可避免，故该传动会出现弹性滑动。
• 打滑：打滑条件是滑动角 $\alpha \geq \alpha_1$（小带轮包角）。此处 $\alpha=108^\circ < \alpha_1=180^\circ$，故不会打滑。

(3) 最大功率$P_{\text{max}}$的计算

1. 紧边拉力与松边拉力的关系：
   传递最大功率时，欧拉公式仍成立 $\frac{F_1}{F_2} = e^{f\alpha_1}$（包角为$\alpha_1=180^\circ=\pi\,\text{rad}$）：
   $\frac{F_1}{F_2} = e^{0.5\pi} \approx e^{1.5708} \approx 4.81$

2. 联立求解$F_1$和$F_2$：
   $\begin{cases} F_1 = 4.81F_2 \\ F_1 + F_2 = 900 \end{cases} \implies F_1 \approx 745.1\,\text{N}, \quad F_2 \approx 154.9\,\text{N}$

3. 计算最大功率：
   $P_{\text{max}} = \frac{(F_1 - F_2)v}{1000} = \frac{(745.1 - 154.9) \times 7.59}{1000} \approx 4.48\,\text{kW}$