题目

2.如图1所示,阶梯形钢杆两端固定。其横截面-|||-面积分别为2A和A,当温度升高,两段杆的正-|||-应力为 () 。-|||-A、 (sigma )_(1)=(sigma )_(2)-|||-B、 (sigma )_(1)=2(sigma )_(2)-|||-C、 (sigma )_(1)=dfrac (1)(2)(sigma )_(2)-|||-D、 (sigma )_(1)=dfrac (1)(3)(sigma )_(2)

$\begin {aligned} &2. 如图 1 所示, 阶梯形钢杆两端固定。其横截面\\&面积分别为 2 \mathrm{~A} 和 \mathrm{A}, 当温度升高, 两段杆的正\\&应力为 ( {{\quad}})。\\ &A、 \sigma_1=\sigma_2\\ &B、 \sigma_1=2 \sigma_2\\ &C、 \sigma_1=\frac{1}{2} \sigma_2\\ &D、 \sigma_1=\frac{1}{3} \sigma_2 \end {aligned}$

题目解答

答案

$\begin {aligned} &设钢杆左段横截面面积为 2A，右段横截面面\\&积为 A。假设钢杆的长度变化由温度变化 \Delta T\\& 引起，且两端固定，不能自由膨胀。 \\ &根据热应力的定义，热应力 \sigma 可以表示为： \\ &\sigma = E \alpha \Delta T \\ &其中 E 是材料的弹性模量，\alpha 是线膨胀系数，\\&\Delta T 是温度变化。 \\ &由于钢杆两端固定，温度升高会引起杆的膨胀\\&受限，从而产生内力，导致应力分布不同。设\\&左段和右段的应力分别为 \sigma_1 和 \sigma_2。 \\ &根据平衡条件和变形协调条件： \end {aligned}$ $\begin {aligned} &1. 内力平衡条件：两段的内力之和为零，即： \\ &2A \sigma_1 + A \sigma_2 = 0 \\ &2. 由于两端固定，整个杆的总变形为零。假设\\&各段的变形分别为 \delta_1 和 \delta_2，则： \\ &\delta_1 + \delta_2 = 0 \\ &内力平衡条件可以简化为： \\ &2 \sigma_1 + \sigma_2 = 0 \\ &解这个方程，得到： \\ &\sigma_2 = -2 \sigma_1 \\ &因此，左段和右段的应力关系为 \sigma_2 = -2 \sigma_1，\\&考虑到实际问题中，正应力取正值，所以 \sigma_1 =\\& - \frac{1}{2} \sigma_2。 \\ &综上所述，正确答案是： \\ &C、 \sigma_1 = \frac{1}{2} \sigma_2 \end {aligned}$