水由喷嘴射出,已知流量Q=0.4m3/s,主管直径D=0.4m,喷口直径d=0.1m,水头损失不计,求水作用在喷嘴上的力R。

考查要点：本题主要考查伯努利方程和动量方程在喷嘴问题中的应用，涉及流速计算、压力分析及作用力求解。

解题核心思路：

1. 计算主管和喷口处的流速：利用流量公式 $Q = A \cdot v$，分别求出 $v_1$ 和 $v_2$。
2. 应用伯努利方程求喷嘴入口压力：忽略水头损失，列能量方程，解出喷嘴入口处的压力 $P_1$。
3. 应用动量方程求作用力：通过动量定理，结合压力和动量变化率，最终求出水作用在喷嘴上的力 $R$。

破题关键点：

• 正确选择伯努利方程的基准面，假设喷口处压力为大气压（$P_2 = 0$）。
• 区分压力力和动量变化力的方向，明确动量方程中各力的矢量关系。

1. 计算流速 $v_1$ 和 $v_2$

• 主管截面积：
  $A_1 = \frac{\pi D^2}{4} = \frac{\pi (0.4)^2}{4} \approx 0.12566 \, \text{m}^2$
• 喷口截面积：
  $A_2 = \frac{\pi d^2}{4} = \frac{\pi (0.1)^2}{4} \approx 0.00785 \, \text{m}^2$
• 主管流速：
  $v_1 = \frac{Q}{A_1} = \frac{0.4}{0.12566} \approx 3.18 \, \text{m/s}$
• 喷口流速：
  $v_2 = \frac{Q}{A_2} = \frac{0.4}{0.00785} \approx 50.93 \, \text{m/s}$

2. 应用伯努利方程求 $P_1$

取主管截面（1-1）和喷口截面（2-2），列能量方程：
$\frac{P_1}{\rho g} + \frac{v_1^2}{2g} = \frac{v_2^2}{2g}$
解得：
$P_1 = \rho \frac{v_2^2 - v_1^2}{2}$
代入 $\rho = 1000 \, \text{kg/m}^3$，计算得：
$P_1 \approx 1291.876 \, \text{KPa}$

3. 计算压力力 $F_{P1}$

$F_{P1} = P_1 \cdot A_1 \approx 1291800 \cdot 0.12566 \approx 162.337 \, \text{KN}$

4. 应用动量方程求 $R$

动量方程为：
$F_{P1} - R = \rho Q (v_2 - v_1)$
代入 $\rho Q = 1000 \cdot 0.4 = 400 \, \text{kg/s}$，速度差 $v_2 - v_1 \approx 47.75 \, \text{m/s}$，解得：
$R \approx 162.337 - 400 \cdot 47.75 \approx 143.237 \, \text{KN}$