1.单选题(4分) 函数y=|x|在x=0处()A. 无定义B. 有定义,但不连续C. 连续,但不可导D. 连续且可导

本题考查函数在某点处的定义、连续性与可导性的知识。解题思路是先判断函数在该点是否有定义，再根据连续性和可导性的定义分别判断函数在该点是否连续和可导。

1. 判断函数在$x = 0$处是否有定义：
   对于函数$y = |x|$，根据绝对值的定义，当$x = 0$时，$y=\vert 0\vert = 0$，所以函数$y = |x|$在$x = 0$处有定义。
2. 判断函数在$x = 0$处是否连续：
   函数在某点连续的定义为$\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$。
   • 计算$\lim\limits_{x \to 0} |x|$：
     当$x\to 0^+$（即$x$从右侧趋近于$0$）时，$x\gt0$，$\vert x\vert = x$，则$\lim\limits_{x \to 0^+} |x|=\lim\limits_{x \to 0^+} x = 0$；
     当$x\to 0^-$（即$x$从左侧趋近于$0$）时，$x\lt0$，$\vert x\vert = -x$，则$\lim\limits_{x \to 0^-} |x|=\lim\limits_{x \to 0^-} (-x) = 0$。
     因为$\lim\limits_{x \to 0^+} |x| = \lim\limits_{x \to 0^-} |x| = 0$，所以$\lim\limits_{x \to 0} |x| = 0$。
     又因为$f(0)=\vert 0\vert = 0$，即$\lim\limits_{x \to 0} |x| = f(0)$，所以函数$y = |x|$在$x = 0$处连续。
3. 判断函数在$x = 0$处是否可导：
   函数在某点可导的定义为$f^\prime(x_0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$存在。
   • 计算左导数$f_-'(0)$：
     $f_-'(0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0^-} \frac{f(0 + \Delta x) - f(0)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0^-} \frac{\vert \Delta x\vert - 0}{\Delta x}$，因为$\Delta x\to 0^-$时，$\Delta x\lt0$，$\vert \Delta x\vert = -\Delta x$，所以$f_-'(0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0^-} \frac{-\Delta x}{\Delta x} = -1$。
   • 计算右导数$f_+'(0)$：
     $f_+'(0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0^+} \frac{f(0 + \Delta x) - f(0)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0^+} \frac{\vert \Delta x\vert - 0}{\Delta x}$，因为$\Delta x\to 0^+$时，$\Delta x\gt0$，$\vert \Delta x\vert = \Delta x$，所以$f_+'(0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0^+} \frac{\Delta x}{\Delta x} = 1$。
     由于$f_-'(0)= -1\neq f_+'(0)= 1$，即左导数不等于右导数，所以函数$y = |x|$在$x = 0$处不可导。