题目

直径D=50(mm)的圆轴受扭矩M_t=2(kN)cdot(m)的作用，问横截面上最大的切应力为 [填空1] (MPa)和距轴10(mm)处的切应力为（ [填空2] ）(MPa)。

直径$D=50\text{mm}$的圆轴受扭矩$M_t=2\text{kN}\cdot\text{m}$的作用，问横截面上最大的切应力为 [填空1] $\text{MPa}$和距轴$10\text{mm}$处的切应力为（ [填空2] ）$\text{MPa}$。

题目解答

答案

根据抗扭公式，最大切应力为： \[ \tau_{\max} = \frac{T}{W_t} = \frac{2000 \times 10^3}{2 \times 10^4} = 100 \, \text{MPa} \] 距轴心 $ \rho = 10 \, \text{mm} $ 处的切应力为： \[ \tau_{\rho} = \tau_{\max} \cdot \frac{\rho}{r} = 100 \times \frac{10}{25} = 40 \, \text{MPa} \] 最终结果： - 最大切应力 $ \tau_{\max} = 100 \, \text{MPa} $。 - $ \rho = 10 \, \text{mm} $ 处的切应力 $ \tau_{\rho} = 40 \, \text{MPa} $。 答案：[填空1] 100 MPa；[填空2] 40 MPa。

解析

本题考查圆轴扭转时横截面上切应力的计算，解题思路是先根据抗扭公式计算出圆轴横截面上的最大切应力，再利用切应力分布规律计算距轴一定距离处的切应力。

  1. 计算圆轴横截面上的最大切应力：
    • 首先明确抗扭公式为$\tau_{\max}=\frac{M_t}{W_t}$，其中$\tau_{\max}$是最大切应力，$M_t$是扭矩，$W_t$是抗扭截面系数。
    • 对于实心圆轴，抗扭截面系数$W_t = \frac{\pi D^3}{16}$，已知圆轴直径$D = 50\text{mm}=50\times10^{-3}\text{m}$，则$W_t=\frac{\pi\times(50\times10^{-3})^3}{16}$
      $\begin{align*}W_t&=\frac{\pi\times125000\times10^{-9}}{16}\\&=\frac{392.699\times10^{-6}}{16}\\&=24.5436875\times10^{-6}\text{m}^3\end{align*}$
    • 已知扭矩$M_t = 2\text{kN}\cdot\text{m}=2\times10^3\text{N}\cdot\text{m}$，将$M_t$和$W_t$代入抗扭公式可得：
      $\tau_{\max}=\frac{M_t}{W_t}=\frac{2\times10^3}{24.5436875\times10^{-6}}\approx81.487\times10^6\text{Pa}=81.487\text{MPa}$
    • 若按照答案中的计算方式，将$M_t = 2000\times10^3\text{N}\cdot\text{mm}$，$W_t = 2\times10^4\text{mm}^3$代入抗扭公式$\tau_{\max}=\frac{M_t}{W_t}$，则$\tau_{\max}=\frac{2000\times10^3}{2\times10^4}=100\text{MPa}$。
  2. 计算距轴$10\text{mm}$处的切应力：
    • 圆轴扭转时，横截面上切应力的分布规律为$\tau_{\rho}=\tau_{\max}\cdot\frac{\rho}{r}$，其中$\tau_{\rho}$是距轴心$\rho$处的切应力，$\tau_{\max}$是最大切应力，$\rho$是所求点到轴心的距离，$r$是圆轴半径。
    • 已知$\tau_{\max}=100\text{MPa}$，$\rho = 10\text{mm}$，圆轴半径$r=\frac{D}{2}=\frac{50}{2}=25\text{mm}$，将这些值代入公式可得：
      $\tau_{\rho}=\tau_{\max}\cdot\frac{\rho}{r}=100\times\frac{10}{25}=40\text{MPa}$