4.7 用内径为 27mm 的管子，将空气从 10℃加热到 100℃，空气流量为 250kg/h，管外侧用 120℃的饱和水蒸气加热(未液化)。求所需要的管长。

考查要点：本题主要考查对流换热中的管内流动传热计算，涉及雷诺数判断流动状态、对流换热系数计算、平均温差计算以及热量守恒方程的应用。

解题核心思路：

1. 确定流动状态：通过雷诺数判断空气流动为湍流；
2. 计算对流换热系数：使用Dittus-Boelter公式；
3. 计算平均温差：利用对数平均温差公式；
4. 热量守恒：结合传热速率方程求管长。

破题关键点：

• 物性参数需用平均温度（55℃）下的值；
• 流速计算需注意单位转换；
• 温差计算需明确管壁温度与流体进出口温度的关系。

1. 计算空气流速

质量流量 $Q = \frac{250}{3600} \approx 0.06944 \, \text{kg/s}$，管截面积 $A = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \pi \cdot (0.0135)^2 \approx 0.0005775 \, \text{m}^2$，则流速：
$u = \frac{Q}{\rho A} = \frac{0.06944}{1.077 \cdot 0.0005775} \approx 112.62 \, \text{m/s}$

2. 判断流动状态（雷诺数）

$\text{Re} = \frac{d \cdot u \cdot \rho}{\mu} = \frac{0.027 \cdot 112.62 \cdot 1.077}{1.99 \times 10^{-5}} \approx 1.65 \times 10^5 \quad (\text{湍流})$

3. 计算普朗特数

$\text{Pr} = \frac{\mu c_p}{\lambda} = \frac{(1.99 \times 10^{-5}) \cdot 1005}{0.0287} \approx 0.697$

4. 计算对流换热系数

使用Dittus-Boelter公式：
$\alpha = \frac{0.023 \cdot \lambda}{d} \cdot \text{Re}^{0.8} \cdot \text{Pr}^{0.4} = \frac{0.0287}{0.027} \cdot (1.65 \times 10^5)^{0.8} \cdot 0.697^{0.4} \approx 315.88 \, \text{W/(m}^2\text{·K)}$

5. 计算平均温差

管壁温度 $T_w = 120^\circ \text{C}$，流体进出口温度分别为 $10^\circ \text{C}$ 和 $100^\circ \text{C}$：
$\Delta T_m = \frac{\Delta T_2 - \Delta T_1}{\ln \frac{\Delta T_2}{\Delta T_1}} = \frac{110 - 20}{\ln \frac{110}{20}} \approx 52.79 \, \text{K}$

6. 热量守恒求管长

总传热量 $Q = \dot{m} c_p \Delta T$，结合传热方程 $\alpha \pi d L \Delta T_m = \dot{m} c_p \Delta T$：
$L = \frac{\dot{m} c_p \Delta T}{\alpha \pi d \Delta T_m} = \frac{0.06944 \cdot 1005 \cdot 90}{315.88 \cdot \pi \cdot 0.027 \cdot 52.79} \approx 4.44 \, \text{m}$