题目
11.4 直径为100mm的实心圆轴,材料的切变模量 =80GPa, 其表面上的纵向线在扭-|||-转力偶作用下倾斜了一个角 alpha =(0.065)^circ , 如图11.50所示,试求:(1)外力偶矩Me的值;(2)若-|||-[ T] =70MPa, 校核其强度。-|||-Me Me-|||-α-|||-100mm-|||-1.2m-|||-图11.50 习题11.4图
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算扭转角
根据题意，圆轴表面上的纵向线在扭转力偶作用下倾斜了一个角 $\alpha = {0.065}^{\circ}$。扭转角 $\theta$ 与 $\alpha$ 之间的关系为 $\theta = \alpha$。因此，$\theta = {0.065}^{\circ} = 0.065 \times \frac{\pi}{180} = 0.001134$ 弧度。
步骤 2：计算扭矩
根据扭转角的公式 $\theta = \frac{Tl}{GJ}$，其中 $T$ 是扭矩，$l$ 是圆轴的长度，$G$ 是切变模量，$J$ 是圆轴的极惯性矩。对于实心圆轴，极惯性矩 $J = \frac{\pi d^4}{32}$，其中 $d$ 是圆轴的直径。将已知量代入公式，得到：
$$
0.001134 = \frac{T \times 1.2}{80 \times 10^9 \times \frac{\pi \times 100^4}{32 \times 10^8}}
$$
解得：
$$
T = 17800000 \text{ N}\cdot\text{m} = 17.8 \text{ kN}\cdot\text{m}
$$
步骤 3：校核强度
根据强度条件，最大剪应力 $\tau_{max} = \frac{T}{W_p}$，其中 $W_p$ 是圆轴的抗扭截面模量，$W_p = \frac{\pi d^3}{16}$。将已知量代入公式，得到：
$$
\tau_{max} = \frac{17800000}{\frac{\pi \times 100^3}{16 \times 10^6}} = 90.76 \text{ MPa}
$$
由于 $\tau_{max} = 90.76 \text{ MPa} > [r] = 70 \text{ MPa}$，因此强度不足。
根据题意，圆轴表面上的纵向线在扭转力偶作用下倾斜了一个角 $\alpha = {0.065}^{\circ}$。扭转角 $\theta$ 与 $\alpha$ 之间的关系为 $\theta = \alpha$。因此，$\theta = {0.065}^{\circ} = 0.065 \times \frac{\pi}{180} = 0.001134$ 弧度。
步骤 2：计算扭矩
根据扭转角的公式 $\theta = \frac{Tl}{GJ}$，其中 $T$ 是扭矩，$l$ 是圆轴的长度，$G$ 是切变模量，$J$ 是圆轴的极惯性矩。对于实心圆轴，极惯性矩 $J = \frac{\pi d^4}{32}$，其中 $d$ 是圆轴的直径。将已知量代入公式，得到：
$$
0.001134 = \frac{T \times 1.2}{80 \times 10^9 \times \frac{\pi \times 100^4}{32 \times 10^8}}
$$
解得：
$$
T = 17800000 \text{ N}\cdot\text{m} = 17.8 \text{ kN}\cdot\text{m}
$$
步骤 3：校核强度
根据强度条件，最大剪应力 $\tau_{max} = \frac{T}{W_p}$，其中 $W_p$ 是圆轴的抗扭截面模量，$W_p = \frac{\pi d^3}{16}$。将已知量代入公式，得到：
$$
\tau_{max} = \frac{17800000}{\frac{\pi \times 100^3}{16 \times 10^6}} = 90.76 \text{ MPa}
$$
由于 $\tau_{max} = 90.76 \text{ MPa} > [r] = 70 \text{ MPa}$，因此强度不足。