题目
圆截面细长压杆的材料和杆端约束保持不变,若将直径增加一倍,则压杆临界压力为原压杆的A. 2B. 8C. 16D. 32
圆截面细长压杆的材料和杆端约束保持不变,若将直径增加一倍,则压杆临界压力为原压杆的
A. 2
B. 8
C. 16
D. 32
题目解答
答案
C. 16
解析
步骤 1：确定临界压力的公式
临界压力 \(P_{cr}\) 可以用欧拉公式表示为：
\[ P_{cr} = \frac{\pi^2 EI}{(KL)^2} \]
其中，\(E\) 是材料的弹性模量，\(I\) 是截面的惯性矩，\(K\) 是长度系数，\(L\) 是压杆的长度。
步骤 2：计算截面惯性矩
对于圆截面，其惯性矩 \(I\) 可以表示为：
\[ I = \frac{\pi d^4}{64} \]
其中，\(d\) 是圆截面的直径。
步骤 3：分析直径增加一倍对临界压力的影响
如果直径增加一倍，即新的直径为 \(2d\)，则新的惯性矩 \(I'\) 为：
\[ I' = \frac{\pi (2d)^4}{64} = \frac{\pi 16d^4}{64} = 16 \cdot \frac{\pi d^4}{64} = 16I \]
因此，新的临界压力 \(P'_{cr}\) 为：
\[ P'_{cr} = \frac{\pi^2 E I'}{(KL)^2} = \frac{\pi^2 E \cdot 16I}{(KL)^2} = 16 \cdot \frac{\pi^2 EI}{(KL)^2} = 16P_{cr} \]
临界压力 \(P_{cr}\) 可以用欧拉公式表示为：
\[ P_{cr} = \frac{\pi^2 EI}{(KL)^2} \]
其中，\(E\) 是材料的弹性模量，\(I\) 是截面的惯性矩，\(K\) 是长度系数，\(L\) 是压杆的长度。
步骤 2：计算截面惯性矩
对于圆截面，其惯性矩 \(I\) 可以表示为：
\[ I = \frac{\pi d^4}{64} \]
其中，\(d\) 是圆截面的直径。
步骤 3：分析直径增加一倍对临界压力的影响
如果直径增加一倍，即新的直径为 \(2d\)，则新的惯性矩 \(I'\) 为：
\[ I' = \frac{\pi (2d)^4}{64} = \frac{\pi 16d^4}{64} = 16 \cdot \frac{\pi d^4}{64} = 16I \]
因此，新的临界压力 \(P'_{cr}\) 为：
\[ P'_{cr} = \frac{\pi^2 E I'}{(KL)^2} = \frac{\pi^2 E \cdot 16I}{(KL)^2} = 16 \cdot \frac{\pi^2 EI}{(KL)^2} = 16P_{cr} \]