题目
5.4.9[1,5.16]铸铁梁的载荷及横截面尺寸如图5.20a所示。许用拉应力 [ (sigma )_(1)] =40MPa ,许用压应力-|||-[ (sigma )_(c)] =160MPa 。试按正应力强度条件校核梁的强度;若载荷不变,但将T形横截面倒置,即翼缘在下成为⊥-|||-形,是否合理?何故?-|||-200-|||-q=10kN/m F=20kN-|||-B C zc-|||-A D C-|||-2m 3m 1m^2-|||-z-|||-30-|||-(a)-|||-cdot m-|||-20kN·m-|||-(b)-|||-图5.20
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定形心位置
图形左右对称，因此 ${z}_{c}=0$。而 ${y}_{c}$ 可以通过计算得到，即 ${y}_{c}=\dfrac {30\times 200\times 100+30\times 200\times 215}{30\times 200\times 2}=157.5mm$。
步骤 2：计算形心主惯性矩
形心主惯性矩为 $I_{c}= 200\times 30^3+200\times 30\times (157.5-100)^2=15\times 10^6mm^4$。
步骤 3：校核B截面的强度
B截面的弯矩为 $M_{B}=20kN\cdot m$。上边缘为拉应力，下边缘为压应力。计算得到的拉应力和压应力分别为：
${\sigma }_{t}=\dfrac {M_{B}y_{c}}{I_{c}}=\dfrac {20\times 10^3\times 157.5}{15\times 10^6}=21MPa$，
${\sigma }_{c}=\dfrac {M_{B}(200+30-y_{c})}{I_{c}}=\dfrac {20\times 10^3\times (200+30-157.5)}{15\times 10^6}=126MPa$。
由于 ${\sigma }_{t}< [ {\sigma }_{t}] =40MPa$，${\sigma }_{c}< [ {\sigma }_{c}] =160MPa$，因此B截面满足强度要求。
步骤 4：校核C截面的强度
C截面的弯矩为 $M_{C}=10kN\cdot m$。由于 $|M_{B}|=2M_{C}$，而 $y_{c}/[(200+30)-157.5]mm=2.17$，因此仅对C截面拉应力校核。计算得到的拉应力为：
${\sigma }_{t}=\dfrac {M_{C}y_{c}}{I_{c}}=\dfrac {10\times 10^3\times 157.5}{15\times 10^6}=10.5MPa$。
由于 ${\sigma }_{t}< [ {\sigma }_{t}] =40MPa$，因此C截面满足强度要求。
步骤 5：分析横截面倒置后的强度
若将横截面倒置为⊥形，弯矩图不变。B截面的拉应力为：
${\sigma }_{t}=\dfrac {M_{B}(200+30-y_{c})}{I_{c}}=\dfrac {20\times 10^3\times (200+30-157.5)}{15\times 10^6}=126MPa$。
由于 ${\sigma }_{t}> [ {\sigma }_{t}] =40MPa$，因此横截面倒置后不合理。
图形左右对称，因此 ${z}_{c}=0$。而 ${y}_{c}$ 可以通过计算得到，即 ${y}_{c}=\dfrac {30\times 200\times 100+30\times 200\times 215}{30\times 200\times 2}=157.5mm$。
步骤 2：计算形心主惯性矩
形心主惯性矩为 $I_{c}= 200\times 30^3+200\times 30\times (157.5-100)^2=15\times 10^6mm^4$。
步骤 3：校核B截面的强度
B截面的弯矩为 $M_{B}=20kN\cdot m$。上边缘为拉应力，下边缘为压应力。计算得到的拉应力和压应力分别为：
${\sigma }_{t}=\dfrac {M_{B}y_{c}}{I_{c}}=\dfrac {20\times 10^3\times 157.5}{15\times 10^6}=21MPa$，
${\sigma }_{c}=\dfrac {M_{B}(200+30-y_{c})}{I_{c}}=\dfrac {20\times 10^3\times (200+30-157.5)}{15\times 10^6}=126MPa$。
由于 ${\sigma }_{t}< [ {\sigma }_{t}] =40MPa$，${\sigma }_{c}< [ {\sigma }_{c}] =160MPa$，因此B截面满足强度要求。
步骤 4：校核C截面的强度
C截面的弯矩为 $M_{C}=10kN\cdot m$。由于 $|M_{B}|=2M_{C}$，而 $y_{c}/[(200+30)-157.5]mm=2.17$，因此仅对C截面拉应力校核。计算得到的拉应力为：
${\sigma }_{t}=\dfrac {M_{C}y_{c}}{I_{c}}=\dfrac {10\times 10^3\times 157.5}{15\times 10^6}=10.5MPa$。
由于 ${\sigma }_{t}< [ {\sigma }_{t}] =40MPa$，因此C截面满足强度要求。
步骤 5：分析横截面倒置后的强度
若将横截面倒置为⊥形，弯矩图不变。B截面的拉应力为：
${\sigma }_{t}=\dfrac {M_{B}(200+30-y_{c})}{I_{c}}=\dfrac {20\times 10^3\times (200+30-157.5)}{15\times 10^6}=126MPa$。
由于 ${\sigma }_{t}> [ {\sigma }_{t}] =40MPa$，因此横截面倒置后不合理。