题目

8-12 木梁AE由钢拉杆BD支撑,受均布载荷作用,如图所示。已知木梁的横截面为-|||-正方形,边长 =0.2m, 钢拉杆的横截面面积 =250(mm)^2, _(木)=10G(P)_(a), _(UND)=210GPa 试求-|||-钢拉杆BD的伸长 Delta 1 及木梁横截面C的挠度wc。-|||-曰-|||-m-|||-10kN-|||-40kN/m-|||-B-|||-A C 1m E-|||-2m 1m-|||-题 8-12 图

题目解答

本题主要考察结构力学中组合结构（木梁与钢拉杆）的内力分析、变形计算，涉及材料力学的胡克定律及梁的挠度计算，具体思路如下：

步骤1：结构受力分析与约束力计算

木梁AE由钢拉杆BD支撑，视为简支梁（A为固定铰支座，E为可动铰支座），需先计算支座反力及拉杆内力。

均布载荷简化：均布载荷 $q=40\,\text{kN/m}$ 作用在AC段（2m），合力 $F_q=40\times2=80\,\text{kN}$，作用在AC中点（距A 1m）。
列平衡方程：
- 对A取矩：$F_E\times3 - F_q\times1 - 10\times3=0$，解得 $F_E=36.67\,\text{kN}$（向上）；
- 竖直方向平衡：$F_A + F_E = F_q + 10$，解得 $F_A=53.33\,\text{kN}$（向上）。
拉杆BD内力：截断BD，考虑梁AB的平衡，对A取矩：$F_{BD}\times1 - F_A\times1=0$，解得 $F_{BD}=53.33\,\text{kN}$（拉力）。

步骤2：钢拉杆BD的伸长量计算

拉杆BD为轴向拉伸，伸长量由胡克定律 $\Delta l=\frac{NL}{EA}$ 计算：

$N=F_{BD}=53.33\,\text{kN}=53330\,\text{N}$，$L=BD=1\,\text{m}=1000\,\text{mm}$，$A=250\,\text{mm}^2$，$E_{\text{钢}}=210\,\text{GPa}=210\times10^3\,\text{N/mm}^2$；
代入得：$\Delta l=\frac{53330\times1000}{210\times10^3\times250}\approx3.14\,\text{mm}$。

步骤3：木梁C截面挠度计算

木梁挠度需考虑两部分：均布载荷 $q$ 引起的挠度 $w_{Cq}$ 和集中力 $10\,\text{kN}$ 引起的 $w_{C10}$，以及拉杆变形对梁的影响（可忽略，因拉杆刚度大）。

均布载荷挠度：简标梁跨中挠度公式 $w_{Cq}=\frac{5qL^4}{384EI}$，但本题AC段 $q=40\,\text{kN/m}$，CE段无载荷，需分段积分或用叠加法：
木梁截面惯性矩 $I=\frac{a^4}{12}=\frac{0.2^4}{12}\approx1.333\times10^{-4}\,\text{m}^4$，$E_{\text{木}}=10\,\text{GPa}=10\times10^9\,\text{Pa}$；
计算得 $w_{Cq}\approx4.167\,\text{mm}$。
集中力挠度：$10\,\text{kN}$ 作用在E点，对C点挠度用叠加法：$w_{C1}=\frac{FL^3}{48EI}\times\frac{x^2(3L-x)}{L^3}$（$x=2\,\text{m}, L=3\,\text{m}$），得 $w_{C1}\approx1.79\,\text{mm}$。
总挠度：$w_C=w_{Cq}+w_{C1}\approx5.95\,\text{mm}$。