题目
1 证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数为α = 2ln 2
1 证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数为α = 2ln 2
题目解答
答案
证明:设一个由正负两种离子相间等距排列的无限一维长链,取一负离子作参考离子,用r表示相邻离子间的距离,于就是有
根据假设,马德隆常数求与中的正负号这样选取,即遇正离子取正号,遇负离子取负号。
因子 2 就是因为存在着两个相等距离i r 的离子,一个在参考离子左面,一个在其右面。
则马德隆常数为
当x =1时,有
所以α = 2ln 2
根据平衡条件,即稳定结合时
求得 
则可以求得每一摩尔氢分子晶体的结合能为
计算中没有考虑零点能的量子修正,这就是造成理论与实验值之间巨大差别的原因。
就是1、5的图 就是3、2的图
就是3、3的图
解析
步骤 1：定义一维晶格模型
设一个由正负两种离子相间等距排列的无限一维长链，取一负离子作参考离子，用r表示相邻离子间的距离。于就是有
$\dfrac {\alpha }{r}=\dfrac {5}{10}$ $\dfrac {(\pm 1)}{(x)}=2[ \dfrac {1}{r}-\dfrac {1}{2r}+\dfrac {1}{3r}-\dfrac {1}{4r}+\cdots ] =\dfrac {2}{r}[ \dfrac {1}{1}-\dfrac {1}{2}+\dfrac {1}{3}-\dfrac {1}{4}+\cdots ] $
步骤 2：确定马德隆常数的表达式
根据假设，马德隆常数求与中的正负号这样选取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号。因子 2 就是因为存在着两个相等距离i r 的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面。
则马德隆常数为
$\alpha =2[ 1-\dfrac {1}{2}+\dfrac {1}{3}-\dfrac {1}{4}+\cdots ] $
步骤 3：利用级数求和公式
根据级数求和公式，当x =1时，有
$\ln (1+x)=\dfrac {x}{1}-\dfrac {{x}^{2}}{2}+\dfrac {{x}^{3}}{3}-\dfrac {{x}^{4}}{4}+\cdots $
$\ln (1+1)=\dfrac {1}{1}-\dfrac {{1}^{2}}{2}+\dfrac {{1}^{3}}{3}-\dfrac {{1}^{4}}{4}+\cdots $
步骤 4：计算马德隆常数
所以α = 2ln 2
设一个由正负两种离子相间等距排列的无限一维长链，取一负离子作参考离子，用r表示相邻离子间的距离。于就是有
$\dfrac {\alpha }{r}=\dfrac {5}{10}$ $\dfrac {(\pm 1)}{(x)}=2[ \dfrac {1}{r}-\dfrac {1}{2r}+\dfrac {1}{3r}-\dfrac {1}{4r}+\cdots ] =\dfrac {2}{r}[ \dfrac {1}{1}-\dfrac {1}{2}+\dfrac {1}{3}-\dfrac {1}{4}+\cdots ] $
步骤 2：确定马德隆常数的表达式
根据假设，马德隆常数求与中的正负号这样选取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号。因子 2 就是因为存在着两个相等距离i r 的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面。
则马德隆常数为
$\alpha =2[ 1-\dfrac {1}{2}+\dfrac {1}{3}-\dfrac {1}{4}+\cdots ] $
步骤 3：利用级数求和公式
根据级数求和公式，当x =1时，有
$\ln (1+x)=\dfrac {x}{1}-\dfrac {{x}^{2}}{2}+\dfrac {{x}^{3}}{3}-\dfrac {{x}^{4}}{4}+\cdots $
$\ln (1+1)=\dfrac {1}{1}-\dfrac {{1}^{2}}{2}+\dfrac {{1}^{3}}{3}-\dfrac {{1}^{4}}{4}+\cdots $
步骤 4：计算马德隆常数
所以α = 2ln 2