题目
在Debye模型用于一维晶格,求低温下晶格热容与温度的关系,并和上题的结果进行比较,讨论Debye模型的合理性。
在Debye模型用于一维晶格,求低温下晶格热容与温度的关系,并和上题的结果进行比较,讨论Debye模型的合理性。
题目解答
答案
解:对于Debye模型,有色散关系:
上面积分=
与上题结果比较,均与T成正比,说明Debye模型有其合理性,尤其在低温条件下。
解析
步骤 1：确定Debye模型的色散关系
在Debye模型中，一维晶格的色散关系为 $\omega = cq$，其中 $\omega$ 是角频率，$c$ 是声速，$q$ 是波矢量。这表明频率与波矢量成正比。
步骤 2：计算频率的分布函数
根据色散关系，频率的分布函数 $g(\omega)$ 可以表示为 $g(\omega) = \frac{1}{\pi c}$，这是因为频率与波矢量成正比，且波矢量的分布是均匀的。
步骤 3：计算晶格热容
晶格热容 $C$ 可以通过计算能量对温度的偏导数得到。在低温下，晶格热容与温度的关系为 $C = \frac{\partial}{\partial T} \int_0^\infty d\omega \cdot g(\omega) \cdot \frac{h\omega}{e^{\frac{h\omega}{k_BT}} - 1}$，其中 $h$ 是普朗克常数，$k_B$ 是玻尔兹曼常数，$T$ 是温度。将频率的分布函数代入，可以得到 $C = \frac{1}{\pi c} \frac{k_B^2 T}{h} \int_0^\infty \frac{x^2 e^x}{(e^x - 1)^2} dx$，其中 $x = \frac{h\omega}{k_BT}$。积分的结果为 $\frac{\pi^2}{3}$，因此晶格热容与温度的关系为 $C = \frac{\pi k_B^2}{3ch} \cdot T$。
步骤 4：比较与上题结果
与上题结果比较，晶格热容与温度的关系均与 $T$ 成正比，说明Debye模型在低温条件下具有合理性。
在Debye模型中，一维晶格的色散关系为 $\omega = cq$，其中 $\omega$ 是角频率，$c$ 是声速，$q$ 是波矢量。这表明频率与波矢量成正比。
步骤 2：计算频率的分布函数
根据色散关系，频率的分布函数 $g(\omega)$ 可以表示为 $g(\omega) = \frac{1}{\pi c}$，这是因为频率与波矢量成正比，且波矢量的分布是均匀的。
步骤 3：计算晶格热容
晶格热容 $C$ 可以通过计算能量对温度的偏导数得到。在低温下，晶格热容与温度的关系为 $C = \frac{\partial}{\partial T} \int_0^\infty d\omega \cdot g(\omega) \cdot \frac{h\omega}{e^{\frac{h\omega}{k_BT}} - 1}$，其中 $h$ 是普朗克常数，$k_B$ 是玻尔兹曼常数，$T$ 是温度。将频率的分布函数代入，可以得到 $C = \frac{1}{\pi c} \frac{k_B^2 T}{h} \int_0^\infty \frac{x^2 e^x}{(e^x - 1)^2} dx$，其中 $x = \frac{h\omega}{k_BT}$。积分的结果为 $\frac{\pi^2}{3}$，因此晶格热容与温度的关系为 $C = \frac{\pi k_B^2}{3ch} \cdot T$。
步骤 4：比较与上题结果
与上题结果比较，晶格热容与温度的关系均与 $T$ 成正比，说明Debye模型在低温条件下具有合理性。