已知应力状态单元体如下图所示,采用图解法(即应力圆法)求:〔1〕画出应力圆,〔2〕主应力的大小,〔3〕主平面的方位,〔4〕并将主应力和主平面的方位标示在主单元体上。80 MPa-|||-20.MPa

本题主要考察应力圆法在求解应力状态问题中的应用，具体涉及应力圆的绘制、主应力大小计算、主平面方位确定及主单元体标示，解题思路如下：

1. 应力圆的绘制

应力圆的绘制基础是单元体的应力分量：

• 已知条件：单元体上，$\sigma_x=0$（x方向正应力），$\tau_{xy}=20\,\text{MPa}$（x面顺时针切应力），$\sigma_y=-80\,\text{MPa}$（y方向正应力），$\tau_{yx}=-20\,\text{MPa}$（y面逆时针切应力，与$\tau_{xy}$互等）。
• 关键点确定：根据应力圆原理，单元体的x面和y面对应应力圆上两点：
  • $D_1(\sigma_x,\tau_{xy})=(0,20)$（x面应力坐标）
  • $D_2(\sigma_y,\tau_{yx})=(-80,-20)$（y面应力坐标）
• 应力圆绘制：以$D_1D_2$为直径作圆，圆心$C$为两点中点，半径$R$为$D_1D_2$长度的一半。

2. 主应力大小计算

主应力是应力圆与$\sigma$轴的交点，计算公式为：

• 圆心坐标：$\sigma_{\text{avg}}=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}=\frac{0+(-80)}{2}=-40\,\text{MPa}$（圆心C的$\sigma$坐标）
• 半径$R$：$R=\sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2}=\sqrt{\left(\frac{0-(-80)}{2}\right)^2+20^2}=\sqrt{40^2+20^2}=\sqrt{2000}\approx44.7\,\text{MPa}$
• 主应力：
  • $\sigma_1=\sigma_{\text{avg}}+R=-40+44.7\approx4.7\,\text{MPa}$（最大主应力）
  • $\sigma_3=\sigma_{\text{avg}}-R=-40-44.7\approx-84.7\,\text{MPa}$（最小主应力）
  • 因单元体无z方向应力，$\sigma_2=0$（中间主应力）

3. 主平面方位确定

主平面方位角$\alpha_0$是x轴到$\sigma_1$作用面的夹角，由应力圆中$CD_1$与$\sigma$轴夹角计算：

• 公式：$\tan2\alpha_0=\frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x-\sigma_y}$
• 代入数据：$\tan2\alpha_0=\frac{2\times20}{0-(-80)}=\frac{40}{80}=0.5$，则$2\alpha_0\approx26.6^\circ$或$206.6^\circ$
• 方向判断：应力圆上从$D_1$到$\sigma_1$点逆时针旋转$2\alpha_0$，对应单元体中从x轴逆时针旋转$\alpha_0\approx13.3^\circ$得到$\sigma_1$作用面；$\sigma_3$作用面与$\sigma_1$垂直，夹角$90^\circ$。

4. 主单元体标示

主单元体中：

• $\sigma_1\approx4.7\,\text{MPa}$作用面与x轴夹角$\alpha_0\approx13.3^\circ$（逆时针）；
• $\sigma_3\approx-84.7\,\text{MPa}$作用面与$\sigma_1$垂直（夹角$13.3^\circ+90^\circ=103.3^\circ$）；
• $\sigma_2=0$作用面为垂直于上述两平面的方向。