试证面心立方的倒格子是体心立方;体心立方的倒格子是面心立方。

步骤 1：确定面心立方正格子的原胞基矢
面心立方正格子的原胞基矢可以取为：
${a}_{1}=\dfrac {a}{2}(i+k)$,
${a}_{2}=\dfrac {a}{2}(k+j)$,
${a}_{3}=\dfrac {a}{2}(i+j)$,
其中，$i,j,k$ 分别是与晶轴 $a,b,c$ 平行的单位矢量。

步骤 2：计算面心立方正格子的倒格矢
根据倒格矢公式，可以计算出面心立方正格子的倒格矢：
${b}_{1}=\dfrac {2\pi [ {a}_{2}\times {a}_{3}] }{V}$,
${b}_{2}=\dfrac {2\pi [ {a}_{3}\times {a}_{1}] }{V}$,
${b}_{3}=\dfrac {2\pi [ {a}_{1}\times {a}_{2}] }{V}$,
其中，$V$ 是原胞体积，对于面心立方，$V=\dfrac {a^{3}}{4}$。
代入基矢，计算得：
${b}_{1}=\dfrac {2\pi }{a}(-i+j+k)$,
${b}_{2}=\dfrac {2\pi }{a}(i-j+k)$,
${b}_{3}=\dfrac {2\pi }{a}(i+j-k)$.

步骤 3：确定体心立方正格子的原胞基矢
体心立方正格子的原胞基矢可以取为：
${a}_{1}=\dfrac {a}{2}(-i+j+k)$,
${a}_{2}=\dfrac {a}{2}(i-j+k)$,
${a}_{3}=\dfrac {a}{2}(i+j-k)$.

步骤 4：计算体心立方正格子的倒格矢
根据倒格矢公式，可以计算出体心立方正格子的倒格矢：
${b}_{1}=\dfrac {2\pi [ {a}_{2}\times {a}_{3}] }{V}$,
${b}_{2}=\dfrac {2\pi [ {a}_{3}\times {a}_{1}] }{V}$,
${b}_{3}=\dfrac {2\pi [ {a}_{1}\times {a}_{2}] }{V}$,
其中，$V$ 是原胞体积，对于体心立方，$V=\dfrac {a^{3}}{4}$。
代入基矢，计算得：
${b}_{1}=\dfrac {2\pi }{a}(i+k)$,
${b}_{2}=\dfrac {2\pi }{a}(k+j)$,
${b}_{3}=\dfrac {2\pi }{a}(i+j)$.

步骤 5：比较倒格矢与原胞基矢
比较面心立方的倒格矢与体心立方的原胞基矢，以及体心立方的倒格矢与面心立方的原胞基矢，可以发现两者只相差一个常数公因子，这说明面心立方的倒格子是体心立方，体心立方的倒格子是面心立方。