简答题（共20题，100.0分）7.（5.0分）计算sqrt(1+i)。

设 $ z = \sqrt{1+i} $，则 $ z^2 = 1+i $。令 $ z = a + bi $（其中 $ a, b $ 为实数），代入得： \[ (a + bi)^2 = a^2 - b^2 + 2abi = 1 + i \] 比较实部和虚部，得方程组： \[ \begin{cases} a^2 - b^2 = 1 \\ 2ab = 1 \end{cases} \] 由第二个方程解得 $ b = \frac{1}{2a} $，代入第一个方程： \[ a^2 - \left( \frac{1}{2a} \right)^2 = 1 \implies a^2 - \frac{1}{4a^2} = 1 \implies 4a^4 - 1 = 4a^2 \implies 4a^4 - 4a^2 - 1 = 0 \] 令 $ u = a^2 $，则 $ 4u^2 - 4u - 1 = 0 $。解得： \[ u = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 16}}{8} = \frac{4 \pm 4\sqrt{2}}{8} = \frac{1 \pm \sqrt{2}}{2} \] 由于 $ u = a^2 \geq 0 $，故 $ u = \frac{1 + \sqrt{2}}{2} $，即： \[ a^2 = \frac{1 + \sqrt{2}}{2} \implies a = \pm \sqrt{\frac{1 + \sqrt{2}}{2}} = \pm \frac{\sqrt{2 + 2\sqrt{2}}}{2} \] 对应 $ b = \frac{1}{2a} $，当 $ a = \frac{\sqrt{2 + 2\sqrt{2}}}{2} $ 时，$ b = \frac{1}{\sqrt{2 + 2\sqrt{2}}} = \frac{\sqrt{2 - 2\sqrt{2}}}{2} $（注意 $ 2 - 2\sqrt{2} < 0 $，应为 $ b = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2 + 2\sqrt{2}}} $）。 但更简洁地，可表示为： \[ a = \pm \sqrt{\frac{1 + \sqrt{2}}{2}}, \quad b = \pm \sqrt{\frac{-1 + \sqrt{2}}{2}} \] 其中 $ a $ 和 $ b $ 同号。因此，$ \sqrt{1+i} $ 的两个解为： \[ z = \pm \left( \sqrt{\frac{1 + \sqrt{2}}{2}} + i \sqrt{\frac{-1 + \sqrt{2}}{2}} \right) \] 或写成： \[ z = \pm \left( \frac{\sqrt{2 + 2\sqrt{2}}}{2} + i \frac{\sqrt{2 - 2\sqrt{2}}}{2} \right) \] （注意 $ \sqrt{2 - 2\sqrt{2}} $ 应为 $ i\sqrt{2\sqrt{2} - 2} $，此处需调整符号。） 最终结果为： \[ \boxed{\pm \left( \sqrt{\frac{1 + \sqrt{2}}{2}} + i \sqrt{\frac{\sqrt{2} - 1}{2}} \right)} \] 或 \[ \boxed{\pm \left( \frac{\sqrt{2 + 2\sqrt{2}}}{2} + i \frac{\sqrt{2\sqrt{2} - 2}}{2} \right)} \]